FitzHugh-Nagumo方程的分歧

闫东明

(浙江财经大学 数据科学学院, 浙江杭州310018)

§1 引 言

轴突中信号的传播是神经科学中一种重要的现象. 人们为了研究该现象引入了诸如Hodgkin-Huxley (HH) 方程[1], FitzHugh-Nagumo (FN)方程[2-4]等偏微分方程组. FN方程是HH方程的简化方程, 其形式如下:

其中00,ε>0,未知函数v表示轴突中的电压,y与电压升高时钾离子电压门控通道打开以及钠离子电压门控通道关闭行为有关. 此外,a代表v的阈值, 参数ε代表y的延迟反应,I代表电流,γ是一个调整参数.

人们对FN方程的研究无论是理论方面还是数值方面都取得了重要进展, 总结起来主要包括行波解的存在性, 同宿轨的存在性, 全局吸引子的存在性以及Hopf分歧等方面的成果. 这些成果为人们理解轴突中信号传播这一重要的现象提供了坚实的理论基础. 然而, 上述研究成果对具有更一般形式的FN方程(1.1)什么时候发生分歧, 以及影响分歧的因素有哪些等问题都没有给出回答. 本文试图就上述问题给出一些回答. 具体地, 研究(1.1)的定态分歧和Hopf分歧, 即(1.1)的定态方程当控制参数变化时在怎样的条件下有非平凡解存在, 以及(1.1)当控制参数变化时在怎样的条件下有非平凡的周期解存在.

运用线性稳定性分析, 非线性分歧理论以及零指标Fredholm算子的相关性质, 证明了FN方程(1.1)当参数ε超过某个临界值时有定态分歧发生, 即该方程从平凡解分歧出非平凡解, 这意味着通常的常值平衡态失去稳定性达到另外一种非常值的平衡态, 此时的非常值平衡态是(1.1) 定态方程的非平凡解. 另外还证明了FN方程(1.1)当参数ε充分小时有Hopf分歧发生, 即该方程从平凡解分歧出非平凡的周期解, 这意味着通常的常值平衡态失去稳定性达到另外一种电压周期变化的状态. 更进一步的分析表明ε越大, (1.1)越容易发生定态分歧,ε越小, (1.1)越容易发生Hopf分歧, 即钾离子电压门控通道打开及钠离子电压门控通道关闭的延迟反应越慢, 轴突中电压周期变化的现象越容易发生. 本文理论分析所得结果与实验现象是相一致的.

§2 平衡态及平移方程

方程(1.1)的常值平衡态由以下方程给出

方程(2.1)的解记为

令

将(2.3)代入(1.1), 得(1.1)在平衡点(vI,vI/γ)处的平移方程(省略撇)为

引入参数

假设

§3 线性问题的特征值及引理

考虑(1.1)在平凡解(v,y) = (vI,vI/γ)处的线性特征值问题的特征值和特征函数. 由平移方程(2.7)易得(1.1)在平凡解(v,y)=(vI,vI/γ)处的线性特征值问题为

引 理1证 明设µ是(3.1)的 特 征 值, 且其对应特征 函 数 为(v,y). 由Fourier级数 展 开, 存在{an}和{bn}使得

§4 定态分歧

本小节将运用引理2考虑(2.11)当参数λ变化时的分歧. 主要结果如下.

定理1假设(2.6)成立, 且εγ>. 则方程(2.11)在(v,y,λ) = (0,0,1/γ)附近有唯一的单参数非平凡解簇

§5 Hopf分歧