浅谈新课改下初中生“数形结合”思想的培养

姚德良

摘 要：数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合。

关键词：数形结合;几何意义;应用;观察力

中图分类号：G633.6          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2020）15-073-1

数形结合的思想，其实質是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，使代数问题与图形之间相互转化，也就是使代数问题几何化，几何问题代数化。简言之，“数形结合”就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。

一、重视数学概念的几何意义的教学

数学中的很多概念都有一定的几何意义，要培养学生数形结合的思想，就要善于挖掘数学概念的几何意义。刚进入初中的学生在学习绝对值的概念时，教材对绝对值的几何意义作了如下描述：“一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离”。因此教师此时要有意识地重视讲清：“|x|在数轴上表示数x所对应的点到原点的距离”。

例1：在数轴上表示a、b两个实数的点的位置如图所示，化简|a-b|-|a+b|。

解决这个问题应从数轴上讨论a，b的绝对值的大小，根据有理数加法、减法法则，从而确定a+b，a-b的符号。

通过认真讲述数学概念的几何意义，沟通数与形的本质联系，不仅可以深化对数学概念的理解，而且还为提高学生解决问题的能力开辟了新途径。所以从低年级起就要重视数学概念的几何意义的教学，知难而进，培养兴趣，持之以恒，将会有极大的收益。

二、重视数学的基本图象在函数、三角上的应用

在初中阶段，数形结合是一种重要的数学思想，它要求学生把抽象的数或式与直观的“形”（几何图形）结合起来，达到使问题容易理解，思路易于把握的效果，华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，正说明了数形结合思想的重要性。

例2：ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程。它的解可以理解为函数y=ax2+bx+c的图象与常值函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公共点有两个时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;当公共点只有一个时，对应的一元二次方程有两个相等的实数解;当没有公共点时，对应的一元二次方程没有实数解。

例3：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6与x轴的公共点A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y=x2-2x+1与x轴的公共点A（1，0）。

③x2+1=0，没有实数解，y=x2+1与x轴没有公共点。

例4：如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶。已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D。构造两个有着公共边的直角三角形。使得问题转化到解直角三角形中的问题，

在Rt△CAD中，可求CD=5，AD=53。

在Rt△CBD中，可求BC=52，

∴AB=5+53，

∴AC+BC-AB=5+52-53≈3.4。

所以，隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走约3.4千米。

三、善用数形结合，培养学生的观察力

数形要结合，关键在于能根据函数式（或方程）画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义。数学上的有很多公式、定理都具有一定的几何意义，教学中引导学生深刻分析这些公式、定理与几何图形的内在的本质地联系，从而寻求解决问题的有效方法。

例5：在某一个圆上，我们考察同一个弧所对的圆心角和圆周角的关系。

教师可以在黑板上画图，引导学生进行观察：

1.当圆周角的一边与圆心角的一边共线（或圆心在圆周角的一边上）时，我们可以很快发现“圆周角是圆心角的一半”（见图1）;

2.当圆心在圆周角内时，我们只要做一条辅助线（连接圆形和圆周角的顶点的直径），再利用前面的结果又可发现“圆周角是圆心角的一半”（见图2）;

3.当圆心在圆周角外时，做同样的辅助线可以利用前面的结果得到“圆周角是圆心角的一半”（见图3）。

我们从以上三个个别情形可以推得一般结论：“在任何情形下，同弧所对的圆周角是圆心角的一半”。

总之，数形结合是具体与抽象、感知与思维的结合，是发展形象思维与抽象思维一并使之相互转化的有力“杠杆”。教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，变学生学会为会学，提高学生的数学素养，在数学教学中真正实现素质教育。

（作者单位：南京市江宁区周岗学校，江苏 南京210000）