探讨高考解析几何的数学思想方法

吴慧 吴龙泽

摘要：解析几何在普高中有着不可或缺的地位，在历年的高考中都占着一席之位。分类和整理分析2010-2019年高考的解析几何考题，得出其含有的数学思想方法主要有数形结合、化归、函数与方程和分类讨论等。结合一些实践经验，提出教学时一要因材施教，二要坚持不懈，三要注意自然性等教学建议。

关键词：高考;解析几何;数学思想方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：B文章编号：1672-1578（2020）25-0291-02

普高课程标准指出，一方面，根据题意，合理建立直角坐标系，掌握圆锥曲线标准方程和几何性质等基础知识。另一方面，代数和几何能互相转化，能够运用多种数学思想方法解决问题。平面解析几何是高考的宠儿，每年必考。只有知己知彼，才能战无不胜。只有掌握其考点以及如何考，才能有目的性的学习，争取做到知根知底、事半功倍。将2010-2019年全国卷Ⅰ（文科）解析几何考题进行分析和整理。

近10年，高考的文科和理科都是考查3道题。客观题2道10分，解答题1道12分，共22分。就考查对象而言，直线与方程第Ⅰ卷考查4次，第Ⅱ卷是14次;圆与方程第Ⅰ卷考查0次，第Ⅱ卷是10次;椭圆与方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是4次;双曲线与方程第Ⅰ卷考查5次，第Ⅱ卷是2次，都出现在填空题;抛物线与方程第Ⅰ卷考查7次，第Ⅱ卷是6次，都出现在解答题[1]。考题分布比较平衡。

就考查的知识点而言，标准方程在2010-2018年都考查1次，2019年考查2次。几何性质在2012、2015年都考查3次，2011、2013、2014、2017和2019年都考查2次，其他年份为1次。直线与圆锥曲线在2011年考查3次，2010、2016、2018和2019年都考查2次，其他年份为1次。一般情况，客观题考查比较独立，以几何性质及基本量的运算为主，计算量不大，属于得分题。但是如果客观题以压轴题呈现，难度大幅度增加，属于失分题。近10年，解答题有8次在第20题，2013和2019年则是出现在第21题。它分2小题设问，第一问一般比较简单，易得分，主要考查定义和几何性质，第二问则与三角函数、平面向量等知识相结合，综合考查学生能力，属于中等题或者难题。

解析几何在高考中有着举足轻重的地位，其体现的数学思想方法是多种多样的。以下对试题中所蕴涵的几种主要数学思想方法给予具体说明。

【解题思路】在第Ⅰ问中，⊙M和⊙N的圆心关于原点对称，曲线C有可能是椭圆或者双曲线，可以分情况讨论，找矛盾，得出答案。第Ⅱ问关键是求出⊙P的方程，然后根据直线l与两圆都相切，求出直线方程。在求直线的过程注意直线斜率分情况讨论，存在与不存在问题，最后结合椭圆方程，求出AB长度。

除了以上的4种平面解析几何常用的数学思想方法，考题中还包括了类比、特殊到一般等思想方法。数学思想方法学习并不是一朝一夕的事，而是需要在整个教学过程中逐渐积累。由此，提出以下几点教学建议。

首先，教师在教学时要因材施教。对不同层次的学生要采用不同的方法，不能“一刀切”。后进生在巩固基础知识的同时渗透数学思想方法，中等生要教会他们能简单运用数学思想方法，优等生要能灵活运用数学思想方法解答试题。例如在选修1-1的2.3.2抛物线几何性质的例5，对于后进生可以渗透函数与方程思想进行讲解，对于中等生可以多加讲解分类讨论思想方法，对于优等生不仅要求会掌握运用以上的思想方法，而且可以再进行拓展，提高难度。又如在选修1-1的2.2.2双曲线几何性质，讲解例5时，后进生可讲授数形结合思想。而中等生可用类比思想比较第41页的例6，得出其第二定义。对于优等生，可由例5和例6，从特殊到一般，总结圆锥曲线的轨迹问题。

接着，教师在教学时要坚持不懈。只有反复强调，学生才能每时每刻想着数学思想方法，用其指导解题。例如在选修1-1的2.2双曲线，在新授其标准方程可以类比椭圆。类似的，在授课几何性质时候也可以类比椭圆来展开。焦点在y轴上的性质可以类比焦点在x轴的性质。反复强调，学生不仅记得牢而且不易混淆，还有利于思想方法的运用。又如在必修2的第4章在讲解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，从它们相似之处强调类比思想。运用代数法和几何法证明它们之间的关系，反复强调数形结合的重要思想方法。

然后，教师在教学时要注意自然性。在教学过程中，要掌握好讲解思想方法的时机，可以在概念讲解中，也可以在例题后。注意有机结合，不可生硬照搬。例如在必修2的4.2.2圆与圆的位置关系这节课里，可以类比直線与圆的位置关系引入新课，自然而然引入类比方法。接着用圆心距与两圆半径的关系判断位置，同时用两圆的解析式构建方程组，由实数根判别式得到两圆的关系。自然而然的讲授数形结合的思想方法。又如在必修2的4.2.3直线与圆的方程的应用，在讲解例4和例5后自然而然的引入“转化”的思想，代数与几何的转化步骤。

参考文献：

[1]陈中峰，杨苍洲. 2016年高考“圆锥曲线与方程”专题命题分析[J].中国数学教育（高中版），2016（9）：15-23.

[2]刘红.高中生数学思想形成的教学研究[D].天津师范大学硕士学位论文，2009.

[3]杜志健.2010-2019金考卷特快专递全国统一命题卷高考真题汇编10真文科数学[G].新疆：新疆青少年出版社，2019.

[4]傅海伦.数学思想方法发展概论[M].济南：山东教育出版社，2013：106-124.