两两NQD序列完全矩收敛的精确渐近性

卢哲昕, 谭希丽, 张 勇, 刘天泽

(1. 北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013； 2. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012)

1 引言与主要结果

两两NQD(negatively quadrant dependent)序列[1]是一类包含两两独立随机变量序列在内较广泛的随机变量序列, 许多负相协序列的概念, 如NA(negatively asscociated)和NOD(negatively orthant dependent)等相依序列的概念都由此发展而来. 目前, 关于两两NQD序列的研究已取得许多结果: 张金艳等[2]给出了同分布两两NQD 序列的中心极限定理; 杨善朝[3]给出了两两NQD序列的一些概率不等式和矩不等式; 夏卫锋[4]研究了两两NQD序列的矩不等式和指数不等式; 兰冲锋等[5]研究了同分布两两NQD序列部分和之和的强大数律; Wu等[6]研究了两两NQD随机变量的完全收敛性与强大数定律; Yang等[7]研究了两两NQD随机变量序列的几乎处处收敛性. 另一方面, 自从Hsu等[8]提出了完全收敛的概念后, 完全收敛的精确渐近性理论得到广泛关注： Jiang等[9]得到了独立同分布随机变量序列部分和在对数律下完全收敛性的精确渐近性； 邓小芹等[10]研究了NA序列完全矩收敛的精确渐近性.

定义1[1]若∀x,y∈, 有

P(X

则称随机变量X和Y是NQD的. 若∀i≠j,Xi和Yi是NQD的, 则称随机变量序列{Xi,i≥1}是两两NQD序列.

其中N表示标准正态随机变量.

其中N表示标准正态随机变量.

2 引 理

引理1[2]设随机变量{Xn,n≥1}为同分布的两两NQD序列, 且有

则：

3 定理2的证明

不失一般性, 不妨设σ2=1, 取b(ε)=exp{M/ε1/d}, 其中M>4, 0<ε<1/4.

命题1对任意的M>4, 有

证明: 易见

可得

(2)

当ε→0时, 有b(ε)→∞, 在式(2)中取m=[b(ε)], 则有

对于H2有

对于H3, 取2≤q<2+δ, 由Markov不等式、 引理2和Toepliz引理, 有

类似H3的证明, 可证当ε→0时,H4→0. 从而由式(4)得H2→0, 结合式(1),(3), 可得结论.

命题2在定理2的条件下, 有

证明: 取max{(b+1)/d,2}

证毕.

命题3对任意的d≥1/2,b>d-1, 有

证明: 取p>(b+1)/d, 由Markov不等式, 类似命题2的证明, 有

证毕.

命题4对任意的d≥1/2,b>d-1, 有

证明: 易见

证毕.

下面证明定理2. 易见