导数问题中构造辅助函数的方法技巧探讨

吴德满

[摘  要] 构造辅助函数是求解导数问题的常用策略，而构造函数的方法技巧较为众多，需要结合具体问题合理选用. 解题时所构函数的形式不同，获得的解题效果也不相同，文章对导数问题加以剖析，结合实例简要探讨作差构造、拆分构造、换元构造和特征构造四种构造技巧，并提出相应的教学建议.

[关键词] 导数;构造;函数;作差法;拆分法;换元法;特征法

问题综述

在近几年的高考中，出现了众多求证不等式或求参数范围的问题，问题求解的核心工具是导数知识，因此可将其归结为导数问题. 该类问题一般结构独特、综合性强，突破求解时需要采用一定的方法技巧，其中构造函数是解导数问题最为有效的方法，既可以降低思维难度，求解思路又更为清晰. 但实际教学中，学生大多没有完全掌握函数构造的技巧，经验匮乏，所构函数不合理，因此十分有必要深入剖析导数问题中函数构造的方法，总结常用的构造技巧.

技巧探讨

导数题目本身的形式较为多变，复杂度也不一致，因此构造函数时需要根据题目特点. 总体来说，函数构造时最常用的方法有作差法、拆分法、换元法、特征法，下面结合实例加以探讨.

技巧一：作差构造

作差构造法，顾名思义，通过对数式进行作差变换来构建函数的一种方法. 具体作差构造时又分为多种情形，包括直接作差、变形作差，其核心内容均是通过作差来完成函数构造.

例1：已知f（x）=■，试证明：对于任意的正数a，均存在正数x，使得不等式f（x）-1

解析：题干给出了函数f（x）的解析式，求证不等式成立首先需要将解析式代入，将不等式化为■-1ln（a+1）时，G′（x）>0. G（x）min=G（ln（a+1））=a-（a+1）ln（a+1）. 分析可知a-（a+1）ln（a+1）<0，因此可知存在正数x=ln（a+1），使得不等式f（x）-1

点拨：上述在证明时采用了变形作差的函数构造技巧，即首先对函数f（x）-1

技巧二：拆分构造

对于某些不等式证明或求值问题，若直接构造时较难分析，也可以采用拆分构造的策略. 首先对不等式进行合理拆解，将其分为多个部分，然后结合构造思想来构建函数，完成求解. 从构造方式来看也称之为局部构造.

例2：已知函数f（x）的解析式为f（x）=aexlnx+■，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2，试回答下列问题：

（1）试求a和b的值;

（2）证明：f（x）>1.

解析：（1）根据条件可知切线的斜率为e，同时图像经过点（1，f（1）），显然可以根据上述两个条件来建立方程.原函数的导函数为f′（x）=aexlnx+■+■（x>0），则有f（1）=2，f′（1）=e，可解得a=1，b=2.

（2）根据（1）问可知f（x）=exlnx+■（x>0）. 证明f（x）>1，等价于xlnx>xe-x-■，由不等号左侧构造函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，分析可知当x∈0，■时，g′（x）<0;x∈■，+∞时，g′（x）>0，所以函数g（x）在0，■上单调递减，在■，+∞上单调递增，从而在（0，+∞）上的最小值为g■=-■.

由不等号右侧构造函数h（x）=xe-x-■，则h′（x）=e-x（1-x），分析可知函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-■.

综上可知，当x>0时，g（x）> h（x），从而有f（x）>1，证毕.

点拨：上述第（2）问是证明不等式成立，显然需要利用导数知识来完成，但若直接由不等式来构建函数，求导后函数会过于复杂，不易分析. 因此可以采用移项拆分的策略，将其拆分为两部分，分别构造函数，显然两个分函数的性质更容易获得.

技巧三：换元构造

换元同样也可以作为构造函数的一种策略，即利用新元来替换原函数的部分或全部，使之变量化多为少，从而达到减元的目的. 通過换元构造可以使函数的特征结构更为清晰，该方法多用于处理多元函数问题中.

例3：试证明当n>m>0时，有lnn-lnm>■-■.

解析：上述题干给定了变量关系，求证不等式成立，可以先对不等式简单变形，可得ln■-■+■>0，显然只需要该不等式成立即可.由于其中含有变量m和n，可以采用换元构造的策略. 令■=x，则x>1，构造函数g（x）=lnx-■+x（x>1），其导函数为g′（x）=■+■+1，由于x>1，所以g′（x）>0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增. 已知n>m>0，则■>1，有g■>g（1）=0，从而可证ln■-■+■>0，则原不等式成立.

点拨：上述所证不等式的最显著特征是含有两个变量，因此需要分换元、构造两步进行，即常见的换元构造策略，将问题转化为常见的一元函数求导问题，显然可以降低思维. 需要注意的是在完成换元后，需要根据条件来确定新元的取值范围，确保新函数的取值有意义.

技巧四：特征构造

特征法构造函数指的是根据问题式子的特征结构来构造函数的方式，可以是条件特征，也可以是结论特征. 解析时需要准确把握数式的相似结构，然后结合类比思想完成函数构造，常用于常规不等式、数列不等式问题证明，采用特征构造的方式往往可以使抽象问题直观化.

例4：已知函数f（x）的解析式为f（x）=lnx+■，m∈R，如果对于任意的b>a>0，不等式■<1始终成立，试求m的取值范围.

解析：本题目求证不等式成立，不等式的构建与函数f（x）有关，问题等价于求证f（b）-b0），若要使不等式成立，则需使导函数h′（x）=■-■-1≤0在（0，+∞）上恒成立，从而可得m≥ -x2+x=-x-■2+■（x>0），所以有m≥■（当x=■时，等号成立）. 所以m的取值范围为■，+∞.

点拨：上述是关于求解参数取值范围的导数问题，题干给出了条件函数及相关不等式，求解时通过对不等式的等价转化获得了后续函数构造的参照条件，采用的是根据条件特征构造的技巧.特征构造的方法技巧使用十分普遍，解题时需要善于观察不等式的特征结构，总结数式规律.

反思教学

构造函数是求解导数问题的常用策略，上述探讨的四种构造函数技巧有着极强的应用性，从函数的构造过程来看，无非就是两步：第一步对不等式进行转化变形，第二步根据转化后的情形构造函数，利用函数性质来加以探讨. 但采用函数构造解析问题时不能盲目套用公式，需要学生灵活变通，下面提出几点提升学生构造能力的建议.

1. 关注数式规律，提升学生观察力

从上述四道例题来看，问题中所涉不等式的结构、内容较为多样，包含了分数、指数、对数等内容，构造形式也大不相同. 在实际求解时需要学生深入分析不等式的结构特征，从中提炼数形规律，确定合理的构造策略，因此对学生的观察力有着较高的要求. 在实际教学中，不能局限于指导解题过程，还需要注重提升学生的观察力，可以通过设问来引导学生分析不等式所涉内容、形式特点、含参个数、成立条件等，强化学生对不等式的认知.

2. 积累变形方式，重视知识积累

利用函数构造法求解导数问题中，最为关键的一步是对不等式的等价变形，这是后续函数构造的基础. 由于不等式的多样性，变形处理的方法也大不相同，这就要求学生必须掌握一定的变形处理手段，包括移项、参数分离、去分母等. 考虑到变形手段与代数知识有着关联性，在教学中需要立足数式性质，强化基础知识，积累变形经验，提升运算能力. 不等式变形的过程是恒等变形，因此教学中需要使学生理解数式变形的本质，深刻认识等价转化的思想内容.

3. 总结函数模型，增强联想思维

利用函数性质化解是问题解决的重要一步，在该步中需要利用导函数的性质分析问题，化简求解. 实际上构造函数就是构造函数模型，利用模型的性质來解决问题，因此教学中十分有必要引导学生总结基本的函数模型，如指数函数、对数函数、二次函数等，并掌握复合函数的构建技巧及求导方法. 同时注重培养学生的联想思维，使学生掌握根据数式特征构建函数的方法. 思维的培养是一个长期的过程，教学中要结合具体的考题，采用引导设问的方式促进学生思考，逐步提升学生思维的灵活性和发散性.

总之，掌握导数问题中常见的函数构造技巧是提升解题效率的关键，除了需要使学生理解不同构造技巧的内涵，还需要掌握相应的构造步骤. 函数构造的过程实则是创造的过程，需要联想思考，因此需要提升学生的思维品质，促进学生综合素养的发展.