常规Hayward黑洞的经典验证

胡冀万,刘珺茹,曾可欣,刘显明

(1.阿坝师范学院 数学学院,四川 汶川 623000；2.湖北民族大学 信息工程学院，湖北 恩施 445000)

黑洞是广义相对论预言的最重要的成果之一.它有一个有趣的性质是,在广义相对论中,球对称黑洞的内部有一个奇点,转动黑洞内部有一个奇环.这里奇点和奇环都统称为奇点.它与坐标系的选择没有关系,反映了时空的内在性质[1].在20世纪70年代,霍金和彭若斯[2-3]提出了这一著名的奇点定理,并用微分几何的方法进行了严格的证明.他们还提出了一个新的观点,奇点总是要么整个存在于将来(如引力坍缩的奇点),要么整个存在于过去(如大爆炸)[4].换句话说奇点可以看作是时间的开始或终结.后来,奇点对黑洞的影响也相继被研究[1].

为了避免黑洞的奇点,第一个没有奇点的黑洞模型(也叫常规黑洞)被巴丁提出并且研究[5],他发现其度规具有球对称性、静态性、渐近性等特征存在,并且由此产生的爱因斯坦张量在物理上是合理的,它满足弱能量条件.最简单的因果结构类似于Reissner-Nordstrom黑洞,它的内部奇点被常规黑洞中心所取代.近年来,常规黑洞由于其特殊的性质和渐近结构引起了人们的广泛关注[6-13].研究表明,所有这些常规黑洞模型都违反了强能量条件,破坏了奇点定理.最近的研究发现,在常规黑洞中,出现了一些有趣的物理现象,如热力学相变[14]、准正则模[15-17]、全息超导体[18]等.

最近Hayward第一个提出了一个的没有奇点黑洞分析模型[9].它描述了一个孤立的四维球对称的常规Hayward黑洞或者无奇点黑洞,包含了一个新参数l(与中心能量密度3/8πl2有关)和黑洞质量M.这与巴丁黑洞相似[5],并在l=0时简化为史瓦西解,M=0时为平直解.在本文中,将讨论常规Hayward黑洞框架下广义相对论的经典实验.在l→0极限下,常规Hayward黑洞在广义相对论上类似于史瓦西黑洞,并且是渐近平直的.因此,为了验证常规Hayward黑洞的可行性,研究广义相对论的更高阶修正是有必要的.广义相对论的经典实验包括引力红移、水星近日点进动、光线偏折和雷达回波延迟.到目前为止,已有许多文献研究了关于广义相对论中史瓦西黑洞的经典检验[19-21].基于此,进一步研究在常规Hayward黑洞框架下静态引力场的广义相对论经典检验是有意义的.

1 准备知识

在21世纪初,常规Hayward黑洞被提出,其度规[9]为：

(1)

2 引力红移

在稳态引力场中,从恒星某处发射的光子的频率在有限距离内被观测到[21]：

(2)

这里v0是恒星表面的固有频率.v与v0之间的差为：

(3)

因此,可以得到引力红移的相对值,它被定义为：

(4)

那么：

(5)

(6)

因此,u是一个小量,式(5)可用泰勒级数展开得：

(7)

3 水星近日点进动

(8)

(9)

(10)

当粒子为质点时,η=1,仿射参量λ取为τ,τ为固有时,当粒子为光子时,η=0,仿射参量λ不能取τ.

对于行星,η取为1,结合式(9)和式(10),消去τ,可以得到自由粒子的运动方程为：

(11)

(12)

由式(6)可知u是一个小量,式(12)右端u的6阶项和8阶项比前一项小的多,因此,忽略u的6阶项和8阶项,则方程(12)可变为：

(13)

在牛顿理论中,行星在椭圆轨道上运动的微分方程为[21]：

(14)

通过计算,式(14)的一般解为：

(15)

这里的e为轨道的偏心率,由于水星的轨道偏心率非常小,因此e是一个小量.

3u2～10-10,

(16)

以及u的3阶和4阶修正项的数量级更小.

这样这里就可以将式(15)看作是式(13)解的零级近似.并且将这个零级近似代入式(13),忽略e的高阶项,很容易得到：

(17)

比较式(17)最后两项,可以看到最后一项要远小于前一项.因此,忽略最后一项,则式(17)可改写为:

(18)

其中:

(19)

解方程(19)得:

(20)

(21)

可以看到行星的轨道仍然是周期性的，但其周期不再是2π,而是:

(22)

则近日点进动角为:

(23)

其中式(23)中第一项正是标准广义相对论的结果,而第二项是在常规Hayward黑洞框架下,标准广义相对论的修正.并且在常规Hayward黑洞背景下近日点的进动角小于标准广义相对论的结果.

4 光线偏折

(24)

(25)

(26)

由于式(26)右端的最后一项远小于前一项,因此保留五阶项,那么式(26)可变为：

(27)

(28)

当m=0时式(28)与狭义相对论的极限近似,并且对应的解为：

(29)

其中常数r是最接近太阳中心的距离.在m≠0的情况下,考虑到式(28)右边的两项是一个很小的量,因此,式(29)可以看成是式(28)的零级近似解,将这个零级近似解代入式(28)右端,从而得到：

(30)

通过解方程(30)得到：

(31)

(32)

因此,太阳附近时空弯曲造成的光线偏折角为：

(33)

式(33)中第一项是在标准广义相对论框架下得到的偏折角,第二项是在常规Hayward黑洞框架下对标准广义相对论的修正.可以看到常规Hayward黑洞的光线偏折角比标准广义相对论中的小.

5 雷达回波延迟

考虑到一个雷达信号从地球发射出来,经过行星反射返回地球后,通过这个问题来可以分析雷达回波延迟问题.现在,假设t(r1,r2)是在r=r1时雷达信号发射与在r=r2时接收到信号的坐标时间,那么从地球发射雷达回波信号与接收回波信号之间的时间可以简单地表示为：

T=2[t(RE,rmin)+t(RP,rmin)],

(34)

(35)

式(35)两边同时除以c2dt2,得到：

(36)

结合式(9)和式(10)可以得到：

(37)

(38)

(39)

则式(38)可写为：

(40)

然后对式(40)两边同时对r进行积分得到：

(41)

(42)

则：

(43)

积分得：

(44)

由于RE和RP都远大于rmin,因此可以得到雷达波从地球r=RE发射到r=rmin的时间为：

(45)

再从r=rmin到行星r=RP的时间为：

(46)

以及雷达波发射出去和返回的总时间为：

T=2[t(RE,rmin)+t(RP,rmin)]=

(47)

因此,星体的雷达回波总延缓时间为：

(48)

式(48)中第一项正是标准广义相对论的结果,后两项是来自常规Hayward黑洞的高阶修正项.此外,常规Hayward黑洞的雷达回波延迟时间比标准广义相对论的雷达回波延迟时间短.

6 结论

本文研究了常规Hayward黑洞的广义相对论的经典实验验证,讨论了常规Hayward黑洞中的参数l对实验结果的影响.文章通过细致的理论推导发现,对于常规Hayward黑洞引力红移、水星近日点进动、光线偏折、雷达回波延迟的高阶修正项是与参数l有关,比标准的广义相对论结果要小.对常规Hayward黑洞的广义相对论的经典实验验证的讨论,不仅可以为今后实验检验引力理论的可能性提供有力的方法,同时也可以约束常规Hayward黑洞本身的参数.