浮置板断簧条件下的列车-轨道耦合系统动力特性分析

王小韬,赵子诚,周文涛,刘德志

(中铁二院工程集团有限责任公司地下铁道设计研究院,成都 610031)

引言

地铁交通因其运量大、速度快、准时高效、乘坐舒适等优点，成为众多大城市市内交通出行的重要方式[1-4]。然而地铁交通在方便人们出行的同时，也带来了环境振动与噪声问题，钢弹簧浮置板轨道因其具备优良的减振效果被广泛应用于环境振动敏感区域[5-10]。随着地铁列车运行速度、运载质量以及运输密度的不断提高，受到列车荷载反复作用的钢弹簧可能在服役过程中发生疲劳断裂。钢弹簧作为浮置板轨道的离散支承结构，每一个钢弹簧都承受了来自浮置板相当一部分的荷载[11]。一旦出现钢弹簧断裂，将会产生轨道动力型刚度不平顺，造成列车、轨道各动力响应突变，从而进一步恶化线路状态，影响列车运行平稳性和乘坐舒适性，甚至危及行车安全[12-14]。因此，有必要对钢弹簧断裂进行研究。

近年来已有较多关于轨道结构损伤的研究，但针对钢弹簧失效的研究却鲜有报道。吴磊[11]建立了车辆-浮置板轨道耦合作用数值模型，研究了钢弹簧在浮置板端部和中部不同程度、不同数量的失效对车辆运行安全性及轨道变形的影响。然而只考虑单节车并且浮置板长度大于车辆长度时，在车辆运行过程中单块浮置板上承受的动荷载会小于实际的动荷载，从而导致计算得到的轨道变形偏小。余关仁等[15]基于ANSYS软件建立了钢弹簧浮置板轨道有限元模型，用一个激振力函数来模拟列车荷载，分析了隔振器失效对钢轨动态指标的影响。这种考虑方式与实际的列车荷载差别较大，只适合定性模拟列车荷载作用下隔振器失效对轨道动力特性的影响。史文超[16]建立了列车-浮置板轨道耦合动力学模型，研究发现在钢弹簧损伤的情况下，行车速度越大越不利于列车的平稳性和安全性。

综上所述，用于分析钢弹簧失效的理论模型仍未完善，针对钢弹簧失效的分析还存在有待研究之处。结合昆明地铁4号线工程设计实践，建立了列车-浮置板轨道垂向耦合动力学模型，分析了钢弹簧容易发生断裂的位置，研究了钢弹簧的断裂位置和断裂数量对列车-轨道耦合系统垂向振动的影响。

1 列车-浮置板轨道垂向耦合动力学模型

基于车辆-轨道耦合动力学理论[17]，建立考虑剪力铰连接的列车-钢弹簧浮置板轨道垂向耦合动力学模型。其中，列车模型由多节车辆编组而成，每辆车视为10自由度多刚体系统，包括车体的沉浮(Zc)和点头(βc)运动，前后转向架的沉浮(Zt1，Zt2)和点头(βt1，βt2)运动以及4个轮对的垂向振动。钢轨视为连续弹性离散点支承上的Euler梁，浮置板视为连续弹性离散点支承上的有限长自由梁，忽略浮置板下混凝土基底的变形，将其视为刚性基础。扣件和钢弹簧用弹簧阻尼单元模拟，相邻浮置板之间的剪力铰用剪切弹簧模拟。车辆-浮置板轨道垂向耦合动力学模型如图1所示。

图1 车辆-浮置板轨道垂向耦合动力学模型

根据文献[17]，每节车辆的动力学方程可表示为如下形式

(1)

式中，MV、CV、KV分别为10×10阶车辆的质量、阻尼、刚度矩阵；ZV为车辆的位移向量；PV为车辆受到的荷载向量，包括车辆系统的重力和轮轨接触力。

基于Euler梁模型的钢轨垂向振动微分方程为

(2)

式中，Er、Ir、mr分别为钢轨的弹性模量、截面惯性矩以及单位长度质量；Zr为钢轨的垂向位移；pj为第j个轮对施加到钢轨上的垂向力；xwj为第j个轮对在钢轨上的纵向坐标；Nw为列车的轮对总数；Frsi为第i个扣件对钢轨的垂向支反力；xi为第i个扣件在钢轨下的纵向坐标；Np为钢轨下扣件总数。

考虑剪力铰的连接作用时，第k块浮置板垂向振动微分方程为

(3)

其中，第k块浮置板受到的扣件力、钢弹簧支反力和剪力铰垂向剪切力[18-19]分别为

(4)

(5)

(6)

采用Ritz法，引入钢轨、浮置板的垂向振型和正则振型坐标，将式(2)、式(3)由四阶偏微分方程转化为二阶常微分方程。钢弹簧浮置板轨道的振动方程可表示成统一形式

(7)

式中，MT、CT、KT分别为轨道系统的质量、阻尼、刚度矩阵；ZT为轨道结构的广义位移向量；PT为轨道结构的广义荷载向量，由轮轨接触力构成。

式(1)和式(7)中的荷载向量均包含了轮轨相互作用力。应用Hertz非线性弹性接触理论，可求解轮轨垂向力。车辆系统和轨道系统的振动方程通过轮轨相互作用力耦合成一个车辆-轨道耦合动力学微分方程。对于如此大型复杂的非线性动力学微分方程，采用新型快速显示积分法(翟方法)[20]进行计算，其积分格式为

式中，Δt为时间积分步长；下标n代表当前步t=nΔt时刻；φ、φ是积分控制参数，一般均取为0.5。

2 轨道结构设计及参数

钢弹簧浮置板轨道结构如图2所示。轨道结构高度为840 mm，钢轨为CN60钢轨，扣件采用弹条Ⅲ型弹性分开式扣件。浮置板板端采用连续2对钢弹簧隔振器加密布置进行刚度过渡，2对钢弹簧间距为0.595 m，垂向刚度为5.33 kN/mm。其余板下钢弹簧采取2种间距交替布置，2种间距分别为1.785 m和1.19 m，钢弹簧垂向刚度均为6.66 kN/mm。在轨道结构高度(浮置板厚度)受限的情况下，这种钢弹簧非均匀分布设计能够保证轨道稳定性的同时，极大限度地降低浮置板下钢弹簧的总支承刚度，达到使浮置板轨道系统保持较低固有频率的目的。但这种轨道结构一旦发生钢弹簧断裂，其列车-轨道耦合系统受到的影响要比标准的钢弹簧均匀分布式浮置板轨道大得多。轨道结构的主要动力学参数见表1。

表1 轨道结构的主要动力学参数

图2 钢弹簧浮置板平面布置

3 列车-浮置板轨道系统动力响应研究

根据昆明地铁4号线设计实践，计算中采用地铁B1型车，共6节编组，设计轴重为140 kN，取最高行车速度100 km/h。为了排除其他因素的干扰，计算中不考虑轨道不平顺的影响。

图3是钢弹簧完好状态下头车的车体质心垂向加速度时程曲线，正方向竖直向下，负值表示加速度方向向上。图4是钢弹簧完好状态下第1位轮对通过浮置板时的轮轨垂向力。

图3 车体垂向加速度时程曲线

图4 轮轨垂向力时程曲线

由图3和图4可知，车辆驶过浮置板接缝位置时，车辆系统会产生明显的冲击效应，车体垂向加速度和轮轨垂向力都呈现出以浮置板长度为周期的变化规律。

图5为钢弹簧完好状态下浮置板轨道上各部件的动力响应。其中扣件支点力和钢弹簧支点力的正值代表其受压，负值代表其受拉。

图5 浮置板轨道上各部件动力响应

由图5可知，由于浮置板的不连续，浮置板中部和端部的轨道各部件动力响应也不一致。由图5(a)和图5(b)可知，板端位置的钢轨、浮置板垂向位移分别比板中位置的钢轨、浮置板垂向位移大0.2 mm和0.3 mm。由图5(c)和图5(d)可知，板端处的钢轨、浮置板垂向加速度分别比板中处的钢轨、浮置板垂向加速度大41%和136%。由图5(e)和图5(f)可知，板端处的扣件、钢弹簧支点力分别比板中处的扣件、钢弹簧支点力小2.2 kN和4.7 kN。

4 钢弹簧断裂工况研究

4.1 钢弹簧支点力幅值沿轨道纵向分布规律

为了确定钢弹簧断裂的计算工况，需要先对钢弹簧容易发生断裂的位置进行分析。隧道内浮置板轨道钢弹簧发生断裂的主要因素在于列车荷载的反复作用，在每个钢弹簧受到的循环荷载次数相同的条件下，每次受力大的钢弹簧更容易发生疲劳破坏。为了尽量避免仿真结果的特殊性，本次提取连续3块浮置板的钢弹簧支点力。图6为钢弹簧完好状况下其支点力幅值沿轨道纵向分布曲线，竖虚线表示浮置板接缝中心位置。

图6 钢弹簧支点力幅值沿轨道纵向分布曲线

由图6可知，连续3块浮置板下的钢弹簧支点力幅值沿轨道纵向的分布规律一致，排除了仿真结果的特殊性。在同一块浮置板下，钢弹簧支点力幅值沿轨道纵向呈“M”形分布，板端连续2对钢弹簧的支点反力最小，钢弹簧的位置离板中越近，其支点反力越大，并在1/4板附近达到最大值，之后钢弹簧越是靠近板中位置，其支点反力越小。钢弹簧支点力幅值沿轨道纵向的分布非完全对称，浮置板首端位置的钢弹簧支点力要比末端位置的略大。以中间的浮置板为例，钢弹簧支点力最小值为23.6 kN，最大值为30.4 kN，变化幅值为6.8 kN，靠近浮置板中部截面的2对钢弹簧的支点反力幅值均为29.6 kN，与最大值仅相差0.8 kN。在14板到34板区域内的钢弹簧更容易发生断裂。

4.2 钢弹簧断裂工况

虽然在浮置板中部附近的钢弹簧更容易发生断裂，但浮置板端部钢弹簧失效危害更大[11]，因此需要对断簧位置出现在浮置板中部和端部这两种情况进行分析，断簧工况设置如表2所示。假设钢弹簧断裂均发生在同一块浮置板下，且是成对、连续断裂。

图9 板中断簧对轨道动力响应幅值沿轨道纵向分布影响

表2 钢弹簧断裂计算工况

5 钢弹簧断裂对轮轨系统动力特性的影响

5.1 板中断簧对轮轨系统动力特性的影响

图7为钢弹簧在浮置板中部发生不同数量的断裂时头车的车体质心垂向加速度时程曲线。图8为钢弹簧在浮置板中部发生不同数量的断裂时第1位轮对通过浮置板时的轮轨垂向力。

图7 板中断簧对车体垂向加速度的影响

图8 板中断簧对轮轨垂向力的影响

由图7和图8可知，当车辆通过有钢弹簧断裂的浮置板时，车体垂向加速度和轮轨垂向力会发生突变。随着车辆不断远离断簧位置，车体垂向加速度和轮轨垂向力逐渐恢复到稳定状态，轮轨垂向力比车体垂向加速度更快稳定。浮置板中部钢弹簧断裂的数量越多，车体垂向加速度越大，轮轨垂向力变化不明显。

图9是钢弹簧在浮置板中部发生不同数量的断裂时轨道上各部件动力响应幅值沿轨道纵向的分布规律。

由图9(a)和图9(b)可知，随着浮置板中部断簧数量的增加，钢轨和浮置板的垂向位移都有所增大，当断簧数量达到4对时，同一块板上钢轨和浮置板的垂向位移最大值分别达到13.6 mm和13.1 mm。钢轨和浮置板的垂向位移幅值沿轨道纵向分布受板中断簧的影响几乎一致，在浮置板中部附近均出现了先增大后减小的规律，且断簧数量越多，钢轨和浮置板的垂向位移恢复得越慢。

由图9(c)和图9(d)可知，浮置板中部断簧数量越多，钢轨和浮置板的垂向加速度越大。浮置板端部钢轨和浮置板的加速度幅值几乎不受板中断簧的影响。

由图9(e)和图9(f)可知，板中断簧对扣件支点力的幅值几乎没有影响，且当板中断簧4对时，板中位置的扣件支点力时程曲线也几乎无变化。断簧数量越多，钢弹簧支点力越大。断簧位置的钢弹簧支点力骤减为0，浮置板传递给基底的力会由周围的钢弹簧承担，周围的钢弹簧支点力急剧增大，而靠近浮置板端部的钢弹簧支点力逐渐恢复成正常水平。

5.2 板端断簧对轮轨系统动力特性的影响

图10为钢弹簧在浮置板端部发生不同数量的断裂时头车的车体质心垂向加速度时程曲线。图11为钢弹簧在浮置板端部发生不同数量的断裂时第1位轮对通过浮置板时的轮轨垂向力。由图10和图11可知，浮置板端部钢弹簧断裂的数量越多，车体垂向加速度越大，轮轨垂向力变化不明显。

图12 板端断簧对轨道动力响应幅值沿轨道纵向分布的影响

图10 板端断簧对车体垂向加速度的影响

图11 板端断簧对轮轨垂向力的影响

图12是钢弹簧在浮置板端部发生不同数量的断裂时轨道上各部件动力响应幅值沿轨道纵向的分布规律。

由图12(a)和图12(b)可知，随着浮置板端部断簧数量的增加，钢轨和浮置板的垂向位移都有所增大，当断簧数量达到4对时，同一块板上钢轨和浮置板的垂向位移最大值分别达到了12.1 mm和11.4 mm。钢轨和浮置板的垂向位移幅值沿轨道纵向分布受板端断簧的影响几乎一致，均从最大值开始逐渐减小，并在浮置板中部附近恢复到正常水平，断簧数量越多，钢轨和浮置板的垂向位移恢复得越慢。

由图12(c)和图12(d)可知，浮置板端部断簧数量越多，钢轨和浮置板的垂向加速度越大。浮置板比钢轨的垂向加速度更难稳定，钢轨垂向加速度在板中附近得以稳定，浮置板垂向加速度直到浮置板的末端附近才稳定下来。

由图12(e)和图12(f)可知，浮置板端部的钢弹簧断裂时，板端位置的扣件支点力有所减小，相邻扣件的支点反力会略微增大，并在不远处恢复成正常水平。由板端位置的扣件支点力时程曲线可见，当板端断簧4对时，板端扣件受到压缩力和拉伸力的循环作用，最大压缩力为14.1 kN，最大拉伸力为5.5 kN，最大变化幅值达到19.6 kN，不利于扣件的使用寿命。断簧数量越多，钢弹簧支点力越大。与断簧位置相邻的钢弹簧其支点反力急剧增大，板中附近的钢弹簧支点力逐渐恢复到正常水平。

5.3 板中断簧与板端断簧对轮轨系统动力特性影响的对比

表3是钢弹簧在浮置板中部和端部发生不同数量的断裂时各动力性能指标的幅值。

表3 板中断簧与板端断簧对轮轨系统动力特性的影响

由表3可知，在断簧数量相同的条件下，断簧位置在浮置板端部时的车体、钢轨、浮置板的垂向加速度及扣件支点力比断簧位置在浮置板中部时的大，断簧位置在浮置板端部时的钢弹簧支点力比断簧位置在浮置板中部时的小。例如断簧4对时，板端断簧状态下的车体、钢轨、浮置板的垂向加速度及扣件支点力分别比板中断簧状态下的大13%、24%、41%、6%，板端断簧状态下的钢弹簧支点力比板中断簧状态下的小19%。在断簧数量≤2对的情况下，断簧位置在浮置板端部时的钢轨、浮置板的垂向位移比断簧位置在浮置板中部时的大。例如断簧2对时，板端断簧状态下的钢轨、浮置板的垂向位移比板中断簧状态下的大0.2 mm和0.5 mm。在断簧数量>2对的情况下，断簧位置在浮置板端部时的钢轨、浮置板的垂向位移比断簧位置在浮置板中部时的小。例如断簧4对时，板端断簧状态下的钢轨、浮置板的垂向位移比板中断簧状态下的小1.5 mm和1.7 mm。

6 结论

(1)钢弹簧支点力幅值沿轨道纵向呈“M”形分布，变化幅值达到6.8 kN，板端连续2对钢弹簧的支点反力最小，14板到34板之间的钢弹簧支点力幅值相差在0.8 kN以内，浮置板中部附近的钢弹簧更容易发生断裂。

(2)断簧数量越多，车体垂向加速度、钢轨和浮置板的垂向位移及其垂向加速度、钢弹簧支点力越大，且沿轨道纵向恢复得越慢。断簧位置的钢弹簧支点力骤减为0，与断簧位置相邻的钢弹簧其支点反力急剧增大。

(3)在断簧数量相同的情况下，板端断簧时的车体、钢轨、浮置板的垂向加速度比板中断簧时的大，板端断簧时的钢弹簧支点力比板中断簧时的小。当断簧数量≤2对时，板中断簧时的钢轨、浮置板的垂向位移比板端断簧时的小；当断簧数量>2对时，板中断簧时的钢轨、浮置板的垂向位移将比板端断簧时的大。板中断簧对扣件支点力的幅值几乎无影响，当断簧位置出现在板端时，板端扣件会受到压缩力和拉伸力的循环作用，不利于扣件的使用寿命。