建立几何模型，发展学生思维

来洪江

摘要：以模型思想为理论依据，以一道教师竞赛题为例，展示了利用几何模型解决问题以及问题的延伸、拓展、思考过程，并由此引发利用几何模型解题的思考，为学生学会有逻辑、创造性地思考奠基。

关键词：线索;几何模型;思维;核心素养

《数学课程标准（2011年版）》指出，在数学课堂教学中，应注重发展学生的模型思想。下面以一道竞赛题为例，以模型思想为理论依据，浅谈利用几何模型的解题教学及思考。

原题（2019年杭州市教师数学竞赛试题21）：锐角等腰△ABC，AB=AC，以A为圆心，AB为半径作圆。M为AC的中点，BM与⊙A交于G，过B作BH⊥CA于K，并与⊙A交于H，若AC交GH于X，证明：AX=2AC。

一、对解法的探索

波利亚的“怎样解题表”的第一步就是理解题意，目的在于通过对题目的整体分析，把握题目的条件和目标;通过对题目中某个特征性条件进行联想和思维发散，去寻找数学中常用的、相似的、已经解决的问题模型，接下来只要在这个待解决问题和已解决模型之间搭建一座桥梁，转化问题、解决问题即可。这种解题策略可以缩短学生的思维路径，使得问题得以尽快解决。

（一）线索1：点B在哪里？

分析题目，当BA⊥AC时，即A，K重合，此时，BH变成了直径，所以，当BG⊥HX，易得△ABM∽△AXH，由AM∶AB=1∶2，得AH∶AX=1∶2，即AX=2AC。从特殊图形蕴含一般问题的思维角度出发，只要证明△ABM∽△AHX，原命题就可以得证。要证明两个三角形相似，已有∠BAC=∠HAX，只需证明∠AHX=∠AMB，又因为∠AMB=∠MBC+∠BCA，∠BCA=∠ACH=∠AHC，∠GBC=∠CHG，所以∠AHX=∠AMB，命题得证。

特殊化思想是指对于某个具有一般性结论的数学问题，先研究它的特殊情况，即把研究对象从全体转变为属于这个全体中的一个或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答。本题中用特殊化图形找到隐含在图形中的隐形结论∠AHX=∠AMB，此法功不可没。

（二）线索2：点B和点H关于AX轴对称

对于一些几何问题，若能洞察到图形的对称性，往往能诱发解题灵感，将问题巧妙转化，使问题思路变得更简捷，化难为易，简化思维过程，使问题迎刃而解。

（三）线索3：圓可以隐去吗？

题目的基本框架是锐角等腰△ABC，AB=AC，后面一系列的操作，都是为了得到点X。根据圆的对称性，发现作∠MBC=∠CBX，与AC的延长线交于点X，效果是一样的。所以原题的条件可以改为：锐角等腰△ABC，AB=AC，BM是AC边上的中线，作∠MBC=∠CBX，与AC的延长线交于点X，证明：AX=2AC。

化归三角形问题后，结合结论“点C是AX的中点”，思考方向变得非常清晰，这是个三角形中位线模型问题。

三角形的相关知识内容在初中数学几何学习中是最为核心、最为重要的领域和内容之一，三角形不仅仅是基本的平面图形之一，更是研究其他图形的工具和基础。初中数学中大多数几何问题最终都是化归为三角形问题，圆中的问题也是如此。本题转化条件后，“柳暗花明又一村”，此法让人回味无穷。

二、对题目的再思考

波利亚的“怎样解题表”最后一步是回顾，题目的解法仅仅只是解决数学问题的一半，更重要的是解题以后对问题解决过程的反思与回顾。波利亚指出：回顾已经完成的解答是解题中的一个重要且具有启发性的阶段，它有利于培养学生提出问题的能力和创新精神，有利于学生发现新的规律并加以拓展延伸与推广，有利于学生提高数学素养和促进对数学知识的理解，是一个在数学解题、学习和研究过程中不能忽视的关键环节。下面对题目再次进行分析、思考。众所共知，在几何图形的产生过程中，起决定性作用的是点，下图展示的是本题中各关键点产生的过程，显然此题中点B在圆上的不同位置决定着各关键点的位置和各线段间的数量关系。

（一）动态图形中的定性问题

所谓定性，是指通过非量化的手段来探究问题的本质。改变动态点B的位置，探究点X的位置。当点B的位置使得△ABC是锐角三角形时，M为AC的中点，能得到AX=2AC。也就是说，当半径AC保持不变时，点X永远是个不会动的点。这不禁让我们思考：当△ABC是直角三角形时，结论是否成立？结论是成立的。如果△ABC是个钝角三角形，这个结论还会保持不变吗？只要利用上面任何一种解法，都同理可得AX=2AC。也就是说，在这个等腰△ABC中，只要满足点M是AC边上的中点，只要半径AC大小保持不变，无论点B在圆的任何位置（除了AC的反向延长线与圆的交点），点X都是个定点。

（二）动态图形中的定量问题

三、几何模型在教学中的应用及思考

提升“数学核心素养”是新一轮课程改革的主要目标，它的主阵地显然是日常的数学课堂，通过课堂教学将其推进并不断深化。这就要求一线教师把这样的理念体现在教学设计中，并实施到教学过程中。本文所例举的正是用模型思想解决数学问题的典例。回顾此题解法中的几种思维过程。

从整个思维过程看，问题的焦点集中在中间环节，即已解决问题类模型。已解决问题类模型是指某些典型问题已被解决，而该问题的解决有利于其他相关问题的解决，即该问题的结论可用于其他问题的解决，或是该问题的解决思路可迁移到其他问题的解决。此题中已解决问题类模型主要用的是相似基本模型和中位线基本模型，在条件与模型之间、问题与模型之间的桥梁是联想，通过找相似、找相关、做对比等手段理清思路、解决问题。

（一）在新课教学中突出几何模型

在新课教学中，通过设计教学活动突出几何模型，有助于学生加深对数学模型思想的价值认识，有利于学生思维能力的培养和提高。

（二）在单元教学引入中铺垫几何模型

单元教学引入设计是一个特别重要的教学环节，它起承前启后、引入主题的作用，它是学生整个单元思维模式的引领者。在单元起始用几何模型统筹教学引入，有利于学生对单元知识学习的整体感知，特别是在思维上为接下来的新课学习做了很好的铺垫。比如单元学习——对两个三角形相似判定定理的探索，三个判定定理都是以预备定理（一个三角形内部平行得相似）为已解决问题类模型，如何根据条件用数学的方法把两个分离的三角形构造成预备定理的模型，从而使定理得证。所以，在探究第一个判定定理（有两个角对应相等的两个三角形相似）时，教师就要做好单元教学引入的整体设计。

（三）在章节专题复习中运用几何模型

章节专题复习课的特点主要体现在“理”和“通”两个字上，在核心素养的十个核心概念中，模型思想是这个“通”字的最好体现。它的功能是使知识点能形成网络，并构建体系，从解决一个问题到解决一类问题。所以，在上复习课时，教师要选择布置合适的习题，明确题中蕴含的数学模型，充分利用题中的模型引导学生对知识进行整理，力争达到触类旁通的效果。

四、结束语

模型思想有助于教师教学观的改变，更好地发挥教师的主导作用;有助于教师学习观的转变;更有助于学生学习方式的改变，从而有利于提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升学生的创新意识。数学教育要着眼于学生的长期利益，需要教师通过研究课程所蕴含的价值观资源，不断发展学生的核心素养。

参考文献：

[1]史宁中.数学基本思想与教学[M].北京：商务印书馆，2018.

[2]章建跃，刘萍.以数学整体观为指导的课堂教学[J].中学数学教学参考，2016（23）.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[4]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].徐泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.

（责任编辑：韩晓洁）