典例探究 触类旁通

文 陈 缓

方程是刻画现实世界有效的数学模型。作为“方程家族”中的一员，一元二次方程更是延伸和深化了以前所学过的方程知识。它在现实生活中有着广泛的应用，也是中考数学热衷考查的对象，主要是从一元二次方程的概念、解法、根的判别、根与系数的关系和应用等方面入手考查，同时还会与三角形、面积求算、函数等知识综合应用。在学习的过程中，我们不妨从中考的典型例题出发，将相关知识融会贯通，以不变应万变，从而顺利解决问题。下面就开始我们的探究之旅吧！

一、根与系数的关系

例1（2019·江苏盐城）设x1、x2是方程x2-3x+2=0的两个根，则x1+x2-x1·x2=________。

【分析】方法不一，既可以利用配方法、公式法或因式分解法等先求出x1、x2的具体值x1=2、x2=1，再代入x1+x2-x1·x2进行求解，也可将x1+x2、x1·x2分别看成整体，利用一元二次方程根与系数的关系，得到x1+

解：因为a=1，b=-3，c=2，

【点评】本题考查了一元二次方程的常见解法：配方法、公式法、因式分解法等，以及一元二次方程的根与系数的关系，对于含参数的一元二次方程，依然如此。同学们在熟记公式的基础上，不妨大胆尝试新方法，选用较简单的方法即可。

二、根的判别式

例2（2019·江苏连云港）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则c的值等于________。

【分析】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式=22-4a（2-c）=0，通过化简即可得出的值。

解：由题意，可知a≠0，

因为一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，

所以根的判别式=22-4a（2-c）=0，

即1=a（2-c），

【点评】本题考查了根的判别式，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无实数根。另外，同学们要注意：一元二次方程中，二次项的系数a≠0哦！

三、实际问题中的一元二次方程

例3（2017·江苏无锡）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元。从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）。

A.20% B.25%

C.50% D.62.5%

【分析】设该店销售额平均每月的增长率为x，根据数量关系“原销售额+增长的销售额=后来的销售额”和“增长的销售额=原销售额×增长率”，可将2月份和3月份的销售额分别表示为2（1+x）万元、2（1+x）2万元，从而列出一元二次方程2（1+x）2=4.5，求解即可。

解：设该店销售额平均每月的增长率为x。

由题意，可得2（1+x）2=4.5。

解这个方程，得x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）。

答：该店销售额平均每月的增长率为50%。

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，涉及的平均变化率问题是中考的“常客”，解题的关键在于理解题目的意思，能根据条件找出等量关系。对于本题，若你能根据等量关系表示出2月、3月销售额的代数式，那么恭喜你，离成功不远了！

例4（2019·江苏南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造。如图1，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2。扩充区域的扩建费用每平方米30元。扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元。如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据“矩形的面积=长×宽”和“总价=单价×数量”的数量关系列出方程并解答。

解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm。

根据题意，得3x·2x·100+30（3x·2x-50×40）=642000，

解这个方程，得x1=30，x2=-30（不合题意，舍去）。

所以3x=90，2x=60。

答：扩充后广场的长为90m，宽为60m。

【点评】本题重在考查一元二次方程的应用，对于此类问题，同学们一定要擦亮眼睛，认真审题，找准题目中的数量关系，列出相应的方程。此外，对于所求的一元二次方程的解，要记得根据实际情况进行取舍哦！

四、一元二次方程的综合拓展

例5（2017·贵州六盘水）三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2-3+4=0，则第三边的长是（ ）。

【分析】先解一元二次方程x2-3+4=0，得x1=2，x2=。由题意可知，a、b是方程的解，则a=2，b=，或a=，b=2。结合条件“三角形的两边a、b的夹角为60°”，画出符合条件的三角形，再解三角形，即可得出第三边的长。

过点A作AD⊥CB于点D，垂足为D，

在Rt△ACD中，

由勾股定理，得

【点评】本题是一道关于一元二次方程的综合题，涉及的知识点有解一元二次方程、直角三角形、勾股定理等，同时蕴含数形结合的思想。需要注意的是，一元二次方程能够与三角形、函数等知识点相结合，构建综合性问题，是中考数学考查的重点。因此，同学们需要学会触类旁通，逐步攻破。