极大Schrödinger算子的一个加权不等式

蔡 吟，张纯洁,2

(1.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018；2.浙江大学出版社期刊分社，浙江 杭州 310007)

0 引 言

在高维欧式空间上，首先由P.Sjölin[3]和L.Vega[4]分别证明：当s>1/2时，对任意n，极限均成立。更精确的结果由S.Lee[5]和J.Bourgain[6]给出：当s>1/2-1/4n时，对任意n≥2，极限均成立，其中，n=2时的结果由文献[5]用双线性限制法得到，n≥3的结果由文献[6]用多线性法得到。

1 主要命题及证明

命题的证明需要用到以下引理：

引理[11]设g∈L2(Sn-1)，则当a>1时，

定理1当a≥2时，

(1)

当a>1,α>1/2时，

(2)

证明利用极坐标变换及变量替换，

其中，i为虚部单位。由Fourier逆变换公式，

利用Plancherel定理，有

(3)

注意到f∈Hs(Rn)，从而根据引理可知，式(3)不超过

(4)

最后再作变量替换及极坐标变换，式(4)不大于

因此当a≥2时，

再利用Plancherel定理，有

再用相同的方法化简得到：

注意到，a>1,α>1/2，因此

证毕。

利用定理1结论可得到定理2：极大Schrödinger算子的有界性。

定理2当b≥2时，对任意s≥1/2，有

其中，u*(x)=supt|u(x,t)|。

证明首先，利用式(1)在a=2时的结论，对于任意b≥2，有：

另外对任意b≥2，选取合适的正整数p,q，借助对应均值不等式

并取α充分靠近1/2，使之满足1

因此，当u(x,t)∈Hα(R)时，借助Plancherel定理，可得：

证毕。

最后再用极大函数法，即可获得u(x,t)(t→0)在f∈Hs(Rn),s>1/2上的逐点收敛性。

2 结束语

Schrödinger方程是调和分析中的一个重要内容，关于其逐点收敛到初值问题的解的研究有很多。本文主要是针对文献[11]中指出文献[4]中的证明细节问题，利用极大Schrödinger算子的加权不等式，对文献[4]的证明做了适当的修正。从证明过程可以看出：修正之后，Schrödinger方程的逐点收敛性依然成立。