宏观整体思考 中观结构搭建 微观关联生成——以“反比例函数”单元教学起始课为例

■何丽华

单元教学理论是在整体把握教材的基础上，用全局的眼光、系统的方法把教材中具有内在联系的知识进行整合、重组并形成相对完整、动态的教学设计。它起源于19 世纪末欧美国家新教育运动，其倡导者主张学生的学习内容与学习活动应该是一个整体。从目前数学教学的实际情况来看，大多数教师还是把精力放在具体某节课上，只注重细节的处理，而忽视教学的整体性与系统性。这种“只见树木，不见森林”的课堂教学容易造成学生的知识碎片化，不易建构完整的思维体系，不利于发展学生数学学科核心素养。“核心素养下初中数学单元教学”就是在整体思维指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，对相关教材内容进行统筹重组和优化，突出内容主线，彰显知识的整体性、结构性和关联性，在此基础上进行循环改进的动态教学。具体来说，有以下四个内涵特征。

一、关注宏观分析，把握整体性

数学知识都不是孤立的，有它的来龙去脉，每个知识点之间往往有着千丝万缕的联系。然而,为了教与学的需要,人们常常将其人为地进行分割与细化，这样的划分下学生学习的难度下降了,但其收获的往往是一个个“点状”的知识,容易形成“只见树木，不见森林”的学习状况。我们需要突破教材片段式的知识呈现,必要时将教材内容高效整合,灵活地以整体的方式进行教学。

案例1 初中函数类型的整体把握

问题1用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）计划修建一条长为150km 的高速公路，完成该项目的天数y（天）随日完成量x（km）的变化而变化；

（2）一本书共 280 页，每天看 10 页，剩下 y（页）随阅读时间x（天）的变化而变化；

（3）菜场距家1000m，去菜场所需的时间t随平均速度v 的变化而变化；

（4）猪肉的单价是12 元/kg，购买的金额y（元）随猪肉质量x（kg）的变化而变化；

（5）一个面积为5cm2的菱形，一条对角线y（cm）随着另一条对角线x（cm）的变化而变化；

（6）圆面积S随半径r的变化而变化；

（7）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化。

追问1：以上7 个式子有何共同之处？（回顾函数概念。）

追问2：以上7 个式子有何不同之处？请把以上函数关系式进行分类，并说明理由。

学生主要有两种分类方法，第一种方法是以函数右边是整式和分式进行分类，第二种方法是分为三类：一次函数、反比例函数、二次函数。

以上教学设计力求把反比例函数置身于整个初中需要学习的函数之中，从整体中认识局部，让学生整体把握初中学习的三类特殊函数，既见“树木”又见“森林”，并且在函数表达式分类中产生认知冲突，帮助学生自主地揭示每一类特殊函数的本质属性，从而自然生长出反比例函数概念。这样的教学不仅有利于学生把学到的数学知识建构成网状的知识体系, 感悟数学知识的整体性和系统性，而且提高了学生对知识信息的提取能力、学习的迁移能力、研究问题的能力等。

二、关注核心知识，彰显关联性

中学生的数学学习过程，是学生以原有的数学认知结构为基础，通过同化或顺应，把新知识纳入原有的数学认知结构中。在微观层面的处理上，本节课在原有数学认知结构中寻找适切的类比源——一次函数，不仅可以让学生自然生长出反比例函数的概念，而且也可以自然生长出它的主要研究思路，即“概念——图像与性质——应用”。这种“自然生长”过程，就是关联性的适切体现。即通过分析新知识与原有知识的关联性，来寻找两知识关联处的核心部分，这个核心部分就是本课的核心知识点。

案例2 反比例函数的概念教学

问题2唤醒已有的知识：什么是一次函数？

生 2：一般形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）。

问题3观察这类新函数它们具有什么共同特征？你能否用一个一般的式子表达出来？仿照一次函数的概念，请尝试对这类函数下个定义。

（完善板书如图1，除区域①②部分。）

概念辨析下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？

概念深化1解后反思：反比例函数还有哪些表达形式？

（过程略，完善板书图1 中区域①部分）

概念深化2

（1）当m=时，关于x的函数y=3x-m2是反比例函数？

（2）当 m=______ 时，关于 x 的函数 y=（m-1）·x-m2是反比例函数？

概念深化3下列表格中分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，哪一个表示的是反比例函数？

x y……1 12 2 9 3 6 4 3……x y……-3 2-1 6 1-6 3-2……

概念运用星期天，小明在家做作业，忽然发现作业本已全部用完，小明带上30 元零花钱到离家800 米的商店买作业本。在路上，小明看到某商场在搞装修，工人正在贴地砖，边上一大卡车货物刚到，正准备卸货。最后小明用30 元买了同一种作业本若干本，钱刚好用完。在这一故事情境中，你能找出哪些量之间成反比例函数？

追问：你还能举出哪些反比例函数的实例？

设计意图（1）反比例函数是在学习了一次函数之后的又一个基本函数。我们知道：反比例函数、一次函数是并列关系，函数、反比例关系与反比例函数是上下位关系，这些知识原理之间存在着紧密的联系，通过知识间的关联性、联系性的揭示，培养学生数学学习的迁移能力，从而达到知识的“关系性理解”。（2）帮助学生经历完整的概念发生发展过程。同时利用概念同化（一次函数的同化）和形成（4 个实例共性特征的抽象）两种方式进行概念教学，在概念辨析中通过正例和反例深化概念理解，通过三次概念深化让学生多角度理解反比例函数概念的“多元表征”，通过概念运用拉近数学与生活的距离，培养用数学的眼光观察世界。

总之，在单元教学核心知识的构建过程中，我们必须使新的数学知识与原有数学认知结构中的相应观念建立起非人为的和实质性的联系，揭示数学知识的本质特征及内在的逻辑联系，形成一个完整的知识链条和结构体系。

三、关注知识体系，体现结构性

有了宏观上的整体把握和微观细节的处理，接下来，我们必须从中观上对知识结构进行有效搭建。化学学科中有这样一个基本常识，金刚石和石墨都是由碳原子组成，导致二者不同的仅仅是由于原子的排列结构不同。教学前，教师应仔细研读课标、教材和教参等，找出教学内容的主干知识内容，把教学内容整理为知识逻辑结构图。这样提炼出的知识结构能帮助学生对于知识全貌有宏观的认识，并且梳理出在知识总体上所归纳出的几条基本线索（套路），这样只要牵动一点就可以带动一串，便于记忆与运用。这时已不是教学内容的简单重复和罗列，而是高视角的、有牢固支撑的知识概型。学生掌握的知识是成串、成套的，是具有“空间”结构的，而不是“平面”结构的简单展现。

案例3 结构搭建，类比生成

问题4有关“一次函数”，我们研究了它的哪几个方面？

生3：分为四方面——函数的概念、图像、性质、应用。

追问：对于这几方面的研究，总体的研究思路是什么？你有哪些研究方法呢？

（先组织小组合作交流，然后代表汇报，相互补充，最后达成共识。）

研究函数的总体思路是：先学习函数的概念，然后研究函数的图像，再者研究函数的性质，最后研究函数的应用。

函数的研究方法有：通过列表、描点、连线的方法画函数图像；通过画图、观察、比较、归纳的方法研究函数的性质；通过数学建模的方法用函数的性质解决实际问题。

问题5结构搭建：根据一次函数已有的知识和经验，搭建“反比例函数”的知识结构和体系。

（过程略，在学生回答的基础上完善图1中区域②部分。）

借助前面学习函数的有关知识和研究方法，确定研究方向，因势利导，类比形成新的知识结构体系，放手让学生自己探索发现，培养类比、观察、猜想、验证、归纳等独立思考的能力，充分调动学生的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，培养学习能力。

实际上，纵观本节课的教学设计,有三个层次的结构呈现（如图2）。第一层：反比例函数概念的结构呈现（图1 的概念部分）；第二层：反比例函数的知识结构呈现（概念、图像、性质和应用）；第三层：三种特殊函数（一次、反比例、二次函数）的并列结构呈现。这样，有序、精致的数学知识结构对良好的认知结构的形成起到至关重要的作用，学生能体验到数学研究的基本思路，积累了数学基本活动经验。

四、关注活动设计，遵循递进性

学习活动并不能一蹴而就，我们必须层层递进，让知识的发生发展过程自然生长。比如本节课中设计三个递进式“核心活动”，具体的课堂教学架构如图3。首先从宏观层面整体把握所学知识，学生获得“整体性认识”；其次进行核心概念的关联思考，在同化和顺应中建立了本节课的核心概念——反比例函数概念，帮助学生建立认知结构框架；最后进行结构体系类比生成，帮助学生建立本章知识结构框架。通过三个“核心活动”，学生可以拾级而上，层层递进，从而整体把握反比例函数章节简单内容和结构框架，也为数学学习积累了基本活动经验。

总之，数学单元教学设计倡导宏观上学习内容的整体设计、中观上结构体系的有序搭建、微观上核心内容的关联思考，递进式层级推进的教学将是有效落实单元教学的关键。由于学科、年龄、学生等多方面的差异，具体做法自是各异的，本文仅仅是抛砖引玉，给出一些思路和案例，与同行共研。