用类比思想构建新知结构——以“整式乘法与因式分解”单元教学起始课为例

■马国建

【教学目标及重难点】

1.经历借助图形直观发现整式乘法法则和乘法公式，感悟数形结合的思想。

2.构建本章的知识结构。

3.在探究整式乘法法则、乘法公式的过程中，提升发展学生的符号意识、几何直观、推理能力等知识技能。

4.引导学生感悟：对于一个数学表达式，不仅要会顺向看，还要会逆向看；弄清这两种变形是互逆变形的过程。

【教学流程】

活动一：研究支撑回忆

问题1：下列式子属于数的哪些运算？

（1）8+3；（2）8-3；（3）8×3；（4）8×（3+2）；（5）（8+4）×（3+2）；（6）8÷3。

师：同学们，我们在小学是怎么称呼这些运算的？

生：整数加法、整数减法、整数乘法、乘法的分配律、整数除法。

师：这位同学回答得非常正确。

【设计意图】回忆小学时的“数的运算”，学生以轻松愉悦的心情成为课堂的主导者。

活动二：研究方向的确立

利用学生熟悉的长方形面积公式设置了以下若干问题：

问题2：如图1，某城市中心广场有一块长方形的花圃，若花圃的竖直方向长为a 米，水平方向长为b 米，列式表示花圃的周长和面积。

师：有哪位同学会列式表示花圃的周长和面积？

生1：周长是a+a+b+b=2a+2b，面积是ab。

生2：周长还可以是长宽和的2 倍，2（a+b）。

师：同学们还有补充的吗？

生3：老师，题目里有单位，所有周长的单位应该是米，面积的单位是平方米。

师：同学们回答得真好。那么请大家思考一下周长a+a+b+b=2a+2b 是属于什么运算？

生4：等号左边是4 个单项式的和，右边是两个单项式的和，等号左边到右边的过程是合并同类项。

生5：等号左右两边各是两个多项式。

师：这两位同学回答得很好。同学们，我们在七年级上学期学习了用字母表示数，然后学习了整式中的单项式和多项式。这个a+a+b+b=2a+2b从等号左边到右边的过程是整式的加法（合并同类项）。那么有哪位同学可以给我们大家举一个整式减法的例子？

生6：5a2b-2a2b=3a2b。

师：通过问题 3、问题 4、问题 5、问题 6，结合“数的运算”，请大家猜想一下接下来我们会研究整式的哪些运算，并给这些运算的类型起名字。

【设计意图】学生自主回顾旧知识，并以主导者的身份去类比猜测得出后期整个章节我们需要研究整式的哪些运算，从而达到完成新知识的探究过程。

活动三：研究的过程（小组合作讨论）

问题3：如图2，为了扩大花圃面积，将花圃的水平方向加长n米，列式表示花圃的面积。

师：变化后的花圃面积应该怎么表示呢？

生1：加长后的花圃仍然是一个长方形的花圃，两边长分别为（b+n）米、a米，所以扩大后的花圃面积是a（b+n）。

生2：可以将原来的面积加上多出部分的面积，因为多出的部分也是长方形，这样得到的花圃的面积是ab+an。

生3：缺少了单位，应该是（ab+an）平方米。

师：同学们通过两种不同的途径得到同一个图形的面积。所以我们得到a（b+n）=ab+an。

问题4：如图3，为了扩大花圃面积，将花圃的竖直方向加长m米，水平方向加长n米，列式表示花圃的面积。

师：变化后的花圃面积应该怎么表示呢？

生1：加长后的花圃仍然是一个长方形的花圃，两边长分别为（b+n）米，（a+m）米，所以扩大后的花圃面积是（a+m）（b+n）平方米。

生2：可以将原来的面积加上多出的3 部分的面积，这样得到的花圃的面积是（ab+an+bm+mn）平方米。

生3：可以看成是水平方向长为（b+n）米的上下两个长方形拼起来的，所以面积为a（b+n）+m（b+n）。

师：同学们通过不同的途径得到同一个图形的面积（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+bm+mn。

问题5：如图4，为了扩大花圃面积，将花圃的竖直方向加长b米，水平方向加长a米，列式表示花圃的面积。

师：变化后的花圃面积应该怎么表示呢？

生1：变化后的花圃是一个正方形的花圃，花圃的长和宽都是（a+b）米，所以扩大后的花圃面积是（a+b）2平方米。

生2：还可以将4 个部分的面积相加，这样得到的花圃的面积是a2+2ab+b2。

问题6：为了增加花圃的艺术美观性，现设计如图5 形状的花圃，请列式表示阴影部分花圃的面积。

师：如果按照新设计的图，同学们能否列式表示阴影部分花圃的面积？

生1：从整体看，阴影部分花圃的面积等于边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形面积。可以列式为a2-b2。

生2：我仔细观察了这两个阴影长方形，它们的宽都是a-b，所以这两个阴影长方形可以拼成以a-b为宽的长方形。这个时候拼接后新的长方形的长为a+b，所以阴影部分的面积为（a+b）（a-b）。

问题7：以下这些运算我们应该怎么给它们命名呢？

小组给出意见，教师不断引导，如图6。

师：同学们，这些式子是什么数量关系？等号左边到右边的过程你是怎么理解的？

生1：这些式子两边都是相等的，两边只是表示形式的不同。花圃的面积可以从整体去考虑，也可以分成若干个小的长方形去求。

生 2：a（b+n）=ab+an，从左边到右边，我联想到8×（3+2）=8×3+8×2，其运用了乘法的分配律。我猜想单项式与多项式相乘的法则：用单项式乘多项式的每一项。

生 3：（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+bm+mn，从左边到右边，我想到多项式与多项式相乘，可以第一步直接到最后一步。先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

师：同学们观察得真仔细，我们由图形的面积得到第8 个等式，从第3 个到第8 个等式里面可以发现，整式的乘法可以分为单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式这三类。这里我们遇到两个特殊的多项式乘多项式：完全平方公式和平方差公式。

【设计意图】在利用等面积法探究整式乘法法则、乘法公式的过程中，提升发展学生的符号意识、几何直观、推理能力等知识技能。

活动四：研究成果的应用

练习1：下列式子属于整式的乘法运算的哪种类型？（巩固整式的乘法类型。）

练习 2：计算 a3·a2；3（2x2+y）；（a+1）2。

【设计意图】学生在学习了整式乘法法则、乘法公式的运算法则之后，能判断简单的整式运算的类型和整式乘法运算。为以后的单元教学精学课、单元教学习题课和单元教学整理课做铺垫。

活动五：研究反思补充

问题8：类比小学学的“数的运算”，大家觉得我们还有没有遗漏整式的哪些运算？

生：我觉得我们以后的学习过程中肯定会学到整式的除法。

师：很对，我们会在八年级下学期学习到整式除法的一种形式——“分式”。

师：请大家看一下这个题目99×101-99×100，大家还记得在小学怎么算的吗？

生 1：99×101-99×100=99×（101-100）。

生2：老师，我发现一个相同的地方，乘法分配律的逆运算过程在整式乘法里也成立。

师：很好，这两位同学都很棒。请大家看一下，我们所列的各个等式从右边到左边的过程，将一个多项式写成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解。

活动六：研究总结提炼

问题9：本节课你有哪些收获？

生1：类比小学学过的整数的运算，得到整式除了加减之外，还有整式的乘法和整式的除法，并且了解到整式的乘法里面还包含了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，还遇到两个特殊的多项式乘多项式，完全平方公式和平方差公式。

生2：由这7 个式子我们可以发现，从等式的左边到右边的过程是计算中整式的乘法公式，由右边到左边的过程是因式分解。所以整式的乘法与因式分解是两种互逆变形。

生3：借助图形的面积，我们能直观地发现整式的乘法法则和乘法公式，还总结构建了“整式乘法与因式分解”这章的知识结构思维导图。如图7。

师：这几位同学总结得真好。下课！同学们再见！

【教学反思】

本节课从实际问题入手：为了扩大花圃面积，将花圃的水平方向和竖直方向的长度不断变化，意在让学生认识并理解整式的乘法和因式分解是代数运算及解决许多实际问题的重要基础。利用等面积法让学生发现单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方、平方差公式等结论，简单直接，更易于验证公式。

学生自主回顾旧知识来类比猜测后期整个章节我们需要研究整式的哪些运算，从而达到完成新知识的探究过程。“整式乘法与因式分解”章节起始课能帮助学生了解本章所学的主要内容，熟悉本章的知识结构，关注各个知识点之间的内在联系。

工作室领衔人何丽华老师提出数学单元教学是在整体思维指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，对相关教材内容进行统筹重组和优化。优化后的相对独立的数学整体教学内容就是数学单元。