提升初中生数学学习深度的研究

荣慧英

[摘  要] 文章对八年级上学期如何提升等腰三角形的深度学习提出见解，把折叠和分类讨论的思想方法贯穿等腰三角形教学始终，通过改变图形使分类讨论水到渠成，采用多种教学手段与方法，加强对学生的点对点辅导，使学生享受成功体验，利用思维导图巩固基础知识，梳理思想方法，达到提升初中生数学学习深度的目的.

[关键词] 初中数学;等腰三角形;折叠;分类讨论;深度学习

等腰三角形的知识概述

1. 等腰三角形的地位

（1）教材中

“等腰三角形的性质”是浙教版初中八年级上册的内容，是全等三角形的续篇. 等腰三角形这种常见的图形之一，由于具有一些特殊性质，在生活中被广泛应用. 等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，这也是今后论证两角相等的重要依据之一. 等腰三角形沿底边上的高折叠后能完全重合，这是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据.

（2）中考

等腰三角形在杭州中考中直接考查的情况不多，偶尔出现在客观题中，但与等腰三角形或其探究方法相关的内容会出现在主观题中. 以2018年杭州中考数学试卷第16题（填空题）为例，题目虽然没有明确指出是等腰三角形，但考查了与等腰三角形相关的折叠图形的内容，这与课本上等腰三角形的学习从折叠问题开始相吻合.

2. 等腰三角形知识总结

等腰三角形的重点内容是其性质与判定定理的运用，并结合其他方法进行相关题目的证明，主要内容包括：

（1）定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形.

（2）性质：①等边对等角;②三线合一;③轴对称图形.

（3）判定：等角对等边.

初中数学等腰三角形教学存在

问题分析

1. 没有把折叠贯穿等腰三角形知识始终

如果把折叠的题目贯穿等腰三角形的定义、性质、判定、复习始终，学生会对等腰三角形的知识理解得更有深度.

2. 教师在教学或命题时无意中会出现固定模式

画等腰三角形ABC时，始终把顶角顶点画在上面，底边画在下面，或常用字母A表示顶角顶点，这对学生认识等腰三角形非常不利，所以我们可以换个位置、换个字母来画图，这样能让分类讨论思想的形成起到水到渠成的效果.

3. 教师讲解等腰三角形知识时，方式不够引人入胜

（1）笔者在教学中把一些典型例题编成微课

为了吸引学生的注意力，笔者会在教学中把一些经典例题编成微课. 由于是精心准备过的，所以教学时往往会比即兴讲解效果好. 而且可以在播放微课的过程中更加清楚地观察学生的神情，以便更好地修改自己的微课来适应教学.

（2）在微课中使用吸引学生的动画

比如，在微课中使用学生熟悉的喜洋洋代替他们说出自己的心声;出现错误解答时，使用苹果智能手机中的Siri讲出错误原因，让学生达到极其专注的状态.

（3）在良好的状态下仔细讲解

用规范顿挫的数学语言、醒目清楚的板书把每一类情况讲透彻.

提升初中生学习等腰三角形效

率的有效途径

1. 首先让学生精准掌握等腰三角形的定义

等腰三角形不仅两边相等，还是三角形，而且只要涉及三角形中边的长就要考虑：三边分别大于0，且任意两边之和大于第三边. 在这里，可进一步突出此重点. （讲新课时用例1，期末复习课时用例2）

例1  如果一个等腰三角形的边的长为整数，周长为5，求三条边的长.

解答  若腰为1，则底为3. 因为1+1<3，所以不能构成三角形. 若腰为2，则底为1. 因为1+2>2，所以可以构成三角形. 综上可知，所求三条边的长为2，2，1.

例2  已知一个等腰三角形的周长为8，腰长为x，底边长为y. 试写出y关于x的函数表达式，并求自变量x的取值范围.

解答  y=8-2x. 由x>0，y=8-2x>0，2x>y，解得2

2. 贯穿折叠，利用探究活动提高学生的学习兴趣

兴趣是学生学习的动力，只有在兴趣的驱使下，学生的学习才能达到良好的效果. 下面使用小组合作的学习方式，以“通过折叠巩固等腰三角形的判定”进行探究学习为例.

（1）探究思路

教学完等腰三角形的判定之后，教师在课堂上准备一张矩形硬纸片，演示沿其中一条对角线进行折叠，借此研究在该折叠图中是否存在等腰三角形，并对结论进行证明.

从图1中，学生通过仔细研究找出了等腰三角形ACF——利用“两直线平行，内错角相等”，推出∠1=∠2，利用翻折得到∠2=∠3，进而得到∠1=∠3，所以△ACF为等腰三角形. 上述教学过程既巩固了等腰三角形的判定，又为今后认识“双平基本图形”做了铺垫.

实际上，折叠问题是学习等腰三角形过程中经常出现的问题，学生通过折叠，能感知“轴对称”这一抽象概念，且折叠后会出现特殊的三角形，这样可以培养学生对等腰三角形直观的印象，建立自己的抽象思维. 与此同时，可以培养学生的数学建模思想，促进学生数学素养的提升.

为了拓展学生的思维，可以以小组讨论的形式研究课题，收集在矩形纸片中折叠出等腰三角形的其他方法. 总结学生的方法后，发现主要有以下兩种.

方法一，改变折痕的位置. 如图2，仍然运用“双平基本图形”得出等腰三角形CMN.

方法二，如图3，沿EF对折，取EF上任意一点H，再取BE上任意一点G，展开后得到等腰三角形GHG′——运用定义直接判定即可.

可见，在学习过程中，利用折叠可以把“等角对等边”和“两边相等”这两个判定等腰三角形的方法学习得全面而透彻.

（2）解题应用

像这样把等腰三角形和折叠进行整合教学，学生再次遇到折叠的题目时就不会感觉陌生，可以很快地找到相等的线段和相等的角，这能为今后中考的重要考点——折叠问题的学习埋下伏笔. 比如2018年杭州中考数学试卷第16题——折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作（如图4）：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上. 若AB=AD+2，EH=1，则AD=______.

又如2019年杭州中考数学试卷第16题——如图5，把矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′，D点的对称点为D′. 若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积为______.

这样教学，学生遇到线段的垂直平分线题目时，可以自然而然地把线段的垂直平分线看作对称轴，从而更快地找到解题思路. 比如2019年杭州中考数学试卷第19题——在△ABC中，AC

3. 在等腰三角形的教学中贯穿分类讨论思想方法

对于由于存在一些不确定因素而无法解答或者结论不能统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干个局部问题来解决，这就是分类. 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同类的思想方法. 分类的原则有：分类中的每一部分是相互独立的;一次分类按一个标准;分类讨论应逐级进行.

我们已经知道，等腰三角形的边有可能是底边也有可能是腰，角有可能是底角也有可能是顶角，高有可能在三角形边上或内部或外部，所以遇到这些情况时常常需要分类讨论，不过还需要注意以下方面.

（1）分类应从画图开始

如果把图画错了，那就没办法把题做对，例如下面的例3.

例3  在等腰三角形ABC中，∠A为顶角，腰AB上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，求△ABC三个内角的度数.

分析  与高类似，对于钝角三角形、直角三角形和锐角三角形来说，边的中垂线的位置也有很大不同，而直角三角形往往因为其特殊性直接可以识别，所以所有涉及三角形边的垂线的问题，至少要考虑钝角三角形和锐角三角形这两种情况.

答案  当∠A为锐角时，如图8，由于腰AB上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，所以∠A=90°-50°=40°，∠B =∠C=70°. 当∠A为钝角时，如图9，∠A=90°+50°=140°，∠B =∠C=20°.

（2）逐级分类

讲解题目时必须把分类讨论讲解透彻，否则相当于没讲;遇到不确定的条件时需要分类，分类后还有不确定的需要再分类，也就是逐级分类.

例4  在等腰三角形ABC中，D为线段BC上一点，AD⊥BC. 若AB=10，AD=8，则CD=______.

背景：这是江干区八上期末学业水平测试的第15题，得分率为0.61. 虽然题目不是很简单，但是我们在期末复习时安排了相当长的时间研究分类讨论问题. 分析原因，应该是讲解题目时不够细致，没有把逐级分类的具体细节讲解透彻，使得相当一部分学生少了一个答案.

实际情况：学生的分类方法可以归纳为两种，但是大多数学生没有进行逐级分类，所以少了1个解. 把学生的思路整理完整之后就是下列思路.

◎一级分类：点A为顶角顶点，点A为底角顶点;

二级分类：ABC是顺时针顺序，ABC是逆时针顺序.

◎一级分类：点A为顶角顶点，点B为顶角顶点，点C为顶角顶点;

二级分类：ABC是顺时针顺序，ABC是逆时针顺序.

然后应该画出4个不同的图形，如图10～图13. 最后得出CD的长为6或4或 .

按照以上思路进行试卷讲评后，可以通过下面两道练习题来加以巩固.

練习1  在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD= BC，则△ABC的底角为______°.

练习2  已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x-2）°和（3x-5）°，则这个等腰三角形的顶角为______°.

点评  对于练习1，先分点A为顶角顶点和底角顶点两类. 当点A为底角顶点时，根据高在三角形内部和外部又可以分为两类. 因为点B和点C的位置不影响各角度，不影响答案，所以可以不标. 所以共有图14～图16三个图，答案为45°或75°或15°.

对于练习2，先分（2x-2）°为顶角和底角两类. 当（2x-2）°为顶角时，（3x-5）°一定为底角;但当（2x-2）°为底角时，（3x-5）°可能为底角也可能为顶角. 所以应该得出以下三个方程：（2x-2）+2（3x-5）=180，2x-2=3x-5，2（2x-2）+ （3x-5）=180. 答案为46°或172°或76°.

（3）在等腰三角形的习题中，动点问题是经常出现的一类综合题. 这类题也被学生一度认为是最有难度的试题. 实际上，这类题大多进行一次分类就够了，也就是“两圆一线”问题. 比如下面的例5.

例5  在平面直角坐标系中，已知A（1，1），点P为x轴上的一个动点，则满足△AOP是等腰三角形的点P的坐标为______.

分析  由于没有明确指出点P是等腰三角形的哪个顶点，所以必须分类讨论.

答案  （如图17）当A为顶角顶点时，满足条件的点P的坐标为（2，0）;当O为顶角顶点时，满足条件的点P的坐标为（ ，0），（- ，0）;当P为顶角顶点时，满足条件的点P的坐标为（1，0）. 所以答案为（2，0），（ ，0），（- ，0）或（1，0）.

如果是在学习了函数之后的期末复习，还可以用下面的题目进行巩固.

练习3  在平面直角坐标系中，已知A（2，0），O（0，0），点P在正比例函数y=x的图像上运动，则满足△AOP是等腰三角形的点P的坐标为______.

答案  （如图18）满足条件的点P的坐标为（1，1），（2，2），（ ， ）或（- ，- ）.

在复杂的图形中，教师应引导学生善于捕捉并提取信息，化复杂为简单. 运用分类讨论，其实是把一个复杂问题分解成一个个小的简单问题来解决，体现了化归的思想方法. 在此，将分类讨论的一般步骤总结为：①分类的原因：条件或结论的不确定;②分类的标准：对不确定的条件或结论进行合理分类;③逐步讨论：对各类问题进行详细讨论，逐步解决;④检查总结：总结、归纳各类情况.

从上述例题可以看出，对于与等腰三角形有关的试题，依靠简单想象是无法完成的，需要运用分类讨论思想，才能将多种情况考虑在内，从而解决关于等腰三角形的综合问题. 运用数学思想的意识，并不是一朝一夕养成的，这是一个长期培养、逐步渗透的过程. 在平时的教学中，教师应鼓励学生多想想、多画画，逐渐养成有预见、多角度思考问题的能力.

4. 加强学生动手能力，避免眼高手低

在此需要强调学生动手能力的培养. 在实际教学过程中，笔者发现部分学生读完题目之后没有动手画图，而是思考. 思考5分钟左右，学生认为自己不会做. 这样的学习习惯是造成学生在解决与等腰三角形有关的问题时失分的主要原因. 实际上，学生脑海中并没有形成逻辑思考，欠缺转化数学语言的意识. 当然，我们必须考虑现实情况，在课堂仅有的45分钟内，教师不可能对每一位学生的解题过程进行观察，所以为了加强学生在此方面的意识，笔者认为教师可以在每节课针对3～5位学生的思考进行重点辅导，下节课再换另外3～5位学生，这样一定会让这几位学生大胆讲出自己的解题思路.

学生的“画图能力”，指的并不是画得多么好看、多么标准，但是要画出题目中的重点. 这是一个漫长的艰难的过程. 作为教师，最有效的办法是对学生进行鼓励. 在学生做题时，教师进行一对一的辅导，鼓励学生敢于下笔，先在草稿纸上画，有眉目后再正式画，图不要画得太小，要边画图边思考，至于思考能力的培养，则可以利用思维导图.

5. 利用学习后测，使学生体验成功的喜悦

测试题最好只选一道，避免学生的心理负担过重. 测试题最好包括所有的重点知识和难点，可以试试例题改编，比如下面这道测试题.

测试题  如图19，在正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B为格点，如果C也是图中的格点，则使△ABC为等腰三角形的点C的个数为（      ）

A. 6      B. 13      C.10     D.7

评价  正确答案是C. 选A的问题是：没有把分类方法学透彻，只考虑了C为顶角顶点的情况. 选B的问题是：没有掌握三角形这个前提. 选D的问题是：既没有掌握三角形这个前提，又没有把分类方法学透彻.

根据以上结果可以个别辅导出错的同学. 教师也可以进一步完善自己的教学方法.

6. 善于利用思维导图进行知识或题型的整合

思维导图是一种近几年迅猛发展的一种思维方式，被广泛用于各种领域. 在初中数学课堂上，思维导图是一种非常实用的学习辅助工具. 学生可以利用不同的颜色、不同粗细的线条使思维导图制作美观，从色彩上抓住自己的注意力. 学生可以根据自己的兴趣选择不同的方式进行思维导图的绘制——笔画或电脑软件制作. 在实际教学过程中，思维导图是学习的一种辅助形式，所以鼓励学生利用画笔进行思维导图的绘制，在自己动手的過程中，由于有大脑的参与，所以可以有效地解决学生眼高手低的问题，可以培养学生独立解决问题的能力，使学生的知觉、思维、情感、意志、价值观全面参与，全身心地投入.

构建思维导图时，可以利用多种数学思维方法，比如类比思想、归纳思想、比较思想等，这样可以有效地提升思维导图的应用效果，从而弥补传统复习的不足，提高复习的质量，促进学生发散思维的养成.

（1）预习是一种良好的学习习惯，认真做好预习工作是课前的一项重要作业，但是考虑到平时大部分学生的课业负担，所以可以把绘制思维导图的任务安排得极其简单——只需要画出一个单元的每一节标题与单元标题的关系图（比如图20）.

（2）复习时根据脑海中的知识内容，完善预习过程中绘制的思维导图，着重数学思想方法的内容. 或标记出对以往知识的新见解，把知识充分整合在一起（比如图21）.

结束语

综上所述，应让学生认识到等腰三角形的前提是三角形，然后通过折叠的活动与体验，使学生不但亲身经历发现等腰三角形的过程，而且不拘泥于顶角顶点总在上方的思维定式，从而自然而然地融入分类讨论数学思想方法，将其活化为学生的精神力量，转化为学生认识世界的方式，使得学习等腰三角形的过程成为学生成长、发展的过程.