基于高中数学函数主线内涵理解的“五域”育人途径

贾光辉

摘  要：通过深入挖掘高中数学函数主线内涵，立足于全域化育人视角，提出课程育人、课堂育人、文化育人、活动育人、小课题育人的“五域”育人途径，以彰显数学眼光、理性精神、系统思维、自然属性、实践创新、辩证观点等独特育人价值，深化落实立德树人根本任务.

关键词：函数主线;内涵理解;育人途径

数学教育承载着落实立德树人、发展素质教育的根本任务，旨在引导学生学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，帮助学生形成正确的人生观、价值观、世界观. 而函数是贯穿高中数学最重要的主线之一，蕴含了以运动变化、集合对应观点看问题的数学眼光，纵贯横联构建体系的系统思维，形式结构追溯客观实在的自然属性，崇尚真理、崇尚科学的理性精神，开拓进取、勇于探索的创新精神等重要育人价值. 因此，挖掘函数主线内涵，彰显数学学科“根性”育人价值，丰富育人途径势在必行.

一、函数主线内涵挖掘

在高中数学新课程实施过程中，函数主线以函数概念为根本，以运动变化、集合对应观点和函数思想方法为内在逻辑和思想方法，从两个角度链接高中数学主体内容：从函数自身发展的角度，链接函数的整体性质和局部性质、基本初等函数、函数应用、研究函数的思想方法等;从函数与其他知识联系的角度，链接代数领域的方程、不等式、数列和导数，几何领域的解析几何和向量几何，概率统计领域的随机变量. 其内涵如下.

1. 发展重构性

函数作为基本的数学研究对象，贯穿于数学学习全过程，涉及诸多领域，并不断发展、重构：函数概念从“变量观”到“对应观”;函数类型从具体函数到抽象函数;函数性质从整体（单调性、周期性、奇偶性）到局部（以极限、导数为工具精细刻画函数变化）;函数应用从建立、求解函数模型并解决数学内部问题到解决生产生活实际问题;函数与其他知识间的联系从代数领域到几何领域……每一次发展后的函数概念、性质、应用总是包含了以前的内容并进行重构，不断深化函数的本质和推广函数的应用.

2. 历史回溯性

纵观函数发展史，伽利略、笛卡儿为函数概念提供了研究背景;運动、变量与曲线的数学描述催生了函数概念和函数思想;莱布尼兹、贝努利、欧拉、傅里叶、柯西、黎曼、狄利克雷、维布伦等数学家不断发展函数概念. 虽然数学教学无法完全重现函数的发展历史，但是通过浓缩其主体过程，可以将函数概念发展的7个阶段浓缩为3个里程碑：1755年，瑞士数学家欧拉提出函数的“变量说”;1851年，德国数学家黎曼提出函数的“对应说”;1939年，法国布尔巴基学派提出函数的“关系说”. 正因函数概念具有历史回溯性价值，引领学生从几个重要的历史节点窥探函数发展的过程，才得以不断接近真实历史，尊重历史，以史为师，以史为鉴.

3. 文化哲思性

知所从来，思所将往. 在函数概念的发展历程中，不乏数学家对其质疑、批判、坚守和探索，不断磨砺逻辑性、本质性、连续性等理性思维，而正因如此，才催生了推动数学发展、推动人类社会变革的强大动力. 例如，狄利克雷放弃了当时被普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，将不连续函数纳入函数的范围，创立狄利克雷函数[Dx=1，x为有理数，0，x为无理数，]即一个无穷多不孤立的点的不连续函数，提出“对应”的现代数学观点. 伴随着函数概念的发展，人们的思维方式也发生了重要转折：从描述走向了刻画，从运算转向了关系，从观点上升为思想，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图形语言之间灵活转换，反映了唯物辩证法的联系观、发展观、矛盾观等.

4. 内在逻辑性

函数概念涉及变量、对应、映射、非空数集、定义域、值域、对应法则等众多子概念，函数表示方式多样、符号抽象，具有从整体到局部的性质，应用广泛. 基于复杂性和辩证性的函数概念、性质、基本初等函数、函数应用而构建的函数主线，依托函数自身发展的内在逻辑，形成与数学多个分支间的横向联系，贯通高中数学主体内容. 如数列的上位概念是函数，数列的下位概念有等差数列和等比数列，而等差数列的通项公式、前[n]项和公式分别与一次函数、二次函数有着密切的联系，等比数列的通项公式、前[n]项和公式与指数型函数有着密切联系，故而可以利用相应函数的性质研究数列，函数“承载”数列，使数列的内涵得到深化、外延得到扩充. 正因为函数与数学多个分支之间存在内在逻辑，所以才可以依托函数来研究.

5. 广泛应用性

函数是描述规律的基本模型，也是解决许多问题的重要工具，具有广泛应用性. 一是运用“函数观点”解决其他数学分支的问题. 例如，通过构造辅助函数[hx=fx-gx]，并利用函数零点来求解超越方程[fx=gx]. 又如，借助导数控制函数的极值点、零点、单调性，研究一元高次不等式或超越不等式. 再如，通过设中间变量、确定目标函数，并利用函数最值求法（二次函数性质、三角函数有界性、函数单调性、导数）求解解析几何中的最值问题（线段长、面积、角大小）. 二是通过运动变化和集合对应的观点研究生产生活中的实际问题，如人口增长、存款复利、利润最高、成本最低、效益最高、用料最省、邮费或打车费用等，选择适当的函数构建数学模型，解决问题.

二、构建“五域”育人途径

如何发挥函数主线“根性”教育作用，在课程构建、课堂教学、数学文化渗透、指导学生课题研究及综合实践活动中促进育人有序多级展开？通过函数主线的课程开发、函数知识内容的课堂教学实践、函数发展史的文化渗透、函数应用的综合实践活动、函数主题的研究性学习等多视域的探索和尝试，初步提炼函数主线“五域”育人途径，如图1所示.

“育”字为中，形象拟人，凸显“育人为本”;课程育人顶天，表征上层设计;课堂育人、文化育人立地，寓意教学落地、文化浸润;左手执小课题育人，行之知之，右手握活动育人，知之行之，共奏知行合一之意. 五条途径紧紧围绕“育人”中心，最终实现价值引领、思维启迪、品格塑造等育人功能.

1. 課程育人——“纵贯横联”

基于函数主线内涵1（发展重构性）和内涵4（内在逻辑性），整体分析普通高中数学必修、选择性必修课程，按照循序渐进、螺旋上升的顺序，串联以下内容. 必修课程主题一预备知识“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”. 必修课程主题二函数的四个单元：① 函数概念与性质;② 幂函数、指数函数、对数函数;③ 三角函数;④ 函数应用. 选择性必修主题一函数的两个单元：数列、一元函数导数及其应用. 选择性必修主题二几何与代数的平面解析几何. 选择性必修主题三概率与统计的概率. 并以“纵深”和“横向”两个维度，整合上述不同数学领域的知识，形成凸显整体、围绕主题的知识团，整体把握高中数学的知识内容和思想方法，如图2所示.

（1）纵向贯通.

变量观函数概念→对应观函数概念→函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点、特殊线等）→研究基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数），在研究函数纵深发展的过程中，运用研究函数的思想和方法（几何思想方法、运算思想方法、极限思想方法）.

（2）横向联系.

主要体现在函数的应用，即以函数概念和函数思想为中心，把方程、不等式、数列、导数、解析几何、随机变量等知识内容集中在它周围，充分进行整合. 从函数的观点看方程，方程[fx=0]的根就是函数[y=fx]的零点，用二分法求方程的近似解即用函数的整体性质讨论函数的局部性质;从函数的观点看不等式，不等式[fx>0]的解集就是使函数[y=fx]的图象在[x]轴上方的自变量[x]的取值范围，函数[y=fx]的零点恰是函数值符号的分界点，函数值为正的自变量[x]的取值范围就是不等式的解集. 函数、方程、不等式三者关系密切，函数起统领作用，方程是函数的“点状态”，不等式是函数的“区间状态”，不等式解集的端点值是相应方程的根，从不同的视角刻画了函数. 数列是一类自变量“等距离”地离散取值的函数，其实质是在每个有序的位置上有唯一确定的数值与之对应. 导函数本身是一个特殊的函数，具有函数的性质，利用导数研究函数的单调性、极值（最值），定量地刻画了函数的局部变化，局部研究越清晰提示整体结论的效果就越明确. 解析几何是用代数方法研究几何问题：将点和坐标、图形与方程相对应;把曲线看成是点运动的轨迹，把方程中的未知量看成是变数，将曲线的方程转化为函数关系或构造目标函数，通过研究函数来刻画曲线的性质. 概率与统计中随机试验的每个可能结果[ω]都可以用一个实数[Xω]与之对应，这个对应就是随机变量，即表示随机试验各种结果的实值单值函数.

2. 课堂育人——“返璞归真”

课堂教学是贯通函数主线，并彰显其“五性”内涵的主渠道，教学中不断渗透用函数观点看待问题，用函数思维方式解决问题，用脉络清晰、走向鲜明的函数主线统领数学内容，同构发展，迁移拓广.

（1）尊崇知识“自然发生”.

函数主线理性自然、层层递进地展开知识，体现了知识的发展脉络，顺应学生的认知过程. 以函数单调性为例，学生的认知过程主要有三个阶段，螺旋上升. 第一阶段是通过学习一次函数、二次函数、反比例函数的图象，对函数的增减性产生初步的感性认识. 第二阶段是学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解概念，并依托具体函数多次加深理解. 第三阶段是以导数为工具研究函数的单调性. 再以引入函数单调性为例，学生在学习函数概念后，先观察一些具体的函数图象，可以发现不同函数图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同，函数图象变化规律是函数性质的反映，如何刻画这个性质呢？当自变量增减时，函数值是增加还是减少？若有增减，则表示存在变化，再通过“比较”来研究函数的变化规律，用符号表征为：[当x1-x2<0]时，判断[y1-y2]的符号. 而增减总与自变量所在的区间有关，通过用局部点的性质刻画整体性质突破取点的任意性，[∀x1，x2∈D]，当[x1-x2<0]时，判断[y1-y2]的符号.

（2）深入挖掘“生长点”.

“根性知识”是知识的本原雏形，具有高生长性和高信息量的特性，由此出发能到达其他关联知识，故可称之为“生长点”. 通过“生长点”有助于找到新知的源头，激发学生探究新知的欲望. 例如，学习函数单调性定义后，启发学生使用设元、作差、变形、断号、定论的定义法证明函数的单调性，定义法证明单调性的本质是判断自变量的改变量[Δx=x2-x1]和因变量[Δy=y2-y1]的改变量是同号还是异号，进而得出证明函数单调性的等价命题，[ΔyΔx>0]时，函数[fx]在区间M上是增函数;[ΔyΔx<0]时，函数[fx]在区间M上是减函数. 以此渗透[ΔyΔx]是函数[fx]从[x1]到[x2]的平均变化率，为今后用导数方法研究函数的单调性埋下伏笔，使之成为一个“生长点”.

（3）同思维“批量学”.

通过让学生在逐个研究具体函数到归类研究函数的过程中，将具体函数的很多性质和研究方法迁移到同类函数的学习中，温故知新，举一反三，批量学习，整体把握. 例如，按照定义—表示—性质—运算（法则）—应用的过程，将具体的幂函数[y=x2]，[y=x]，[y=1x]的研究拓展至幂函数类的变化规律;将研究具体指数函数[y=2x，y=2-x]和对数函数[log2x]，[log12x]的图象和性质拓展至[y=ax]（[a>0]，且[a≠1]）和[y=logax]（[a>0]，且[a≠1]），甚至推广到指数类函数与对数类函数的研究;从探索正弦函数[sinx]的图象和性质拓展至对[y=Asinωx+φ]的研究;通过研究具体的等差数列、等比数列，进而拓展研究离散类函数.

（4）谋定后动“理性思维”.

理性思维有其明确的思维方向，充分的思维依据，能对问题进行观察、比较、分析、综合，是一种建立在证据和推理基础上的思维方式. 例如，相比于用“描点法”得出陌生函数的图象，通过先分析函数定义域、值域、零点、奇偶性、单调性、极值点，推理数与形的对应关系，“以数助形”，拟定图象的大致位置和形状特征，再进行画图操作，心中有数，有的放矢，将更为迅速、准确. 推而广之，在学习其他数学知识之前，不急于仓促操作，先进行理性分析推理，构思框架，再合理决策，事半功倍.

3. 文化育人——“崇德尚道”

“崇德尚道”在于育人，以“德”教人. 基于函数主线内涵2（历史回溯性）和内涵3（文化哲思性），在函数概念发展过程中，众多数学家不断赋予其新的思想，也推动了整个数学的发展，并且随着以函数为基础的其他学科的发展，函数概念还将继续扩展，发展进程不会终结. 由此体现的崇尚真理、崇尚科学、不懈努力、敢于开拓、勇于创新的精神，正是文化育人的宝贵资源. 例如，在新课导入环节介绍数学家研究某知识点的背景故事，及其在数学之外领域的应用等，或采用数学家肖像及生平经历等素材布置校园环境，提升学生的浸润式学习体验，使学生在潜移默化中感受前辈的学科素质及文化涵养.

无形的数学文化润物无声，难以捕捉，教师往往容易忽略其滋养心灵的作用. 然而，将无形的文化具象化，以物化形，通过教室文化增强其渗透力、感染力、影响力，引发学生思想观念、进取精神，以及思维方式的转变，有些影响甚至会伴随学生的一生. 例如，引导学生梳理中学数学函数知识體系，手工绘制或电脑设计函数主线框图，并以此布置教室学习环境，强化学生的直观感受，使他们在“函数主线”环境中不断受到熏陶，在体系构建中把握知识内容和方法. 再如，带领学生纵观300年来的函数概念发展史，制作函数概念发展史年表：几何观念下的函数→代数观念下的函数→对应关系下的函数→集合论下的函数→广义函数概念，体会数学内部矛盾是推动函数概念发展的根本动力.

4. 活动育人——“知之行之”

数学实验是学生通过动手、动脑做数学的一种学习活动，是学生运用有关工具，在数学思维参与下进行的一种以实际操作为特征的数学验证或探究活动. 基于函数主线内涵5（广泛应用性），学生在具有一定函数基础知识后，可以利用校园、家庭及社会公共资源等开展数学验证或探究活动.

简述教师指导学生开展数学实验一例. 北京市某教师与综合实践活动基地教师开设数学实验课“微生物繁殖现象观察——函数拟合”. 学生于实验课前设计实验方案，基地教师根据实验方案准备实验材料，鉴于细胞每20分钟分裂一次，所需时间较长，提前进行了大肠杆菌培养，便于学生来到基地直接用显微镜观察，利用血球计数板，通过样方法计数，快速采集大肠杆菌细胞分裂数据，利用计算工具进行函数拟合. 有的小组拟合出指数函数“J”型曲线，但有的小组却拟合出“S”型曲线，如图3所示.

学生经过观察和分析，惊奇地发现各组间的拟合函数不同，这是由于细胞在实际分裂的过程中发生了程序性死亡，因此拟合出来的函数并不都是理想状态中的指数函数. 通过实验课让学生体会到利用数学模型解决实际问题，还要考虑到环境等其他影响因素，增强了学生分析和解决实际问题的能力.

通过大量实践活动，提炼出“数学实验”的操作步骤如下：① 教师结合教学内容，提出开放性问题;② 学生设计实验方案;③ 教师带领学生在生活实践、学农实践及综合实践活动中采集数据;④ 学生建立并求解数学模型，检验模型并得出结论;⑤ 撰写实验报告，班级交流，师生共同分享收获.

在实验操作过程中，细化函数模型求解步骤如下.① 建模准备：对实际问题进行具体分析，抓住问题的主要矛盾，舍弃次要矛盾，简化假设问题，并抽象转化为数学问题. ② 建立模型：根据转化后的数学问题，引进数学符号，表示各变量间的关系，并建立相应的函数模型. ③ 模型求解：运用中学数学知识，对模型进行求解，得到数学结论. ④ 模型检验：将得到的结果回归到实际问题中，运行模型，比较模拟结果与实际结果;判断模型是否准确可靠，必要时考虑改进模型或重新建模. ⑤ 模型应用：将通过检验的模型投入实际应用，并不断改进.

5. 小课题育人——“行之知之”

基于函数主线内涵5（广泛应用性），教师通过引导学生做“小课题”研究，经历选题、开题、做题、结题四个“准科学研究”过程，用数学眼光发现问题、提出问题、分析问题，用数学知识和科学方法研究问题，积累数学实践经验，提高数学学习兴趣，增强数学应用能力，提升创新意识和科学精神，行之知之.

简述教师依托小课题育人途径指导学生开展研究一例. 北京市某学校教师指导学生开展“关于公交车不同车门所需面积的研究”小课题研究. 问题来源：早高峰期间，学生乘坐的公交汽车因拥挤时常无法关闭车门. 提出研究问题：关闭不同类型公交车门所需面积的研究. 研究过程：搜集各类型公交车门数据，计算分析，分类讨论解决方案，比较各类公交车门所需面积得出结论. 研究结果：在各类型公交车门中，关闭折叠双开门所需面积最小，但存在中轴开关过程中会夹住衣角或书包的安全隐患;安装于公交车的定轴单开门、定轴双开门力臂过长，操作性及实用性不强;转杆单开门、转杆双开门所需面积较大，但开关平滑，很少产生安全问题.

在多次开展小课题研究的基础上，梳理研究步骤：① 学生发现并提出来源于生活实际的问题，教师与学生依托所学知识共同定题;② 教师指导学生查阅资料、搜集资料，设计研究方案，组织开题论证会;③ 教师指导学生按照论证后的方案实施研究;④ 教师指导学生分析处理数据，完成小课题研究报告，并做结题汇报.

总之，高中数学函数主线发展重构性、历史回溯性、文化哲思性、内在逻辑性、广泛应用性的“五性”内涵，具有天然的教育属性，挖掘其纵横维度、发展进程、人文精神、发现发明、抽提本质的独特育人魅力，践行课程育人、课堂育人、文化育人、活动育人、小课题育人的“五域”育人途径，旨在系统化育人载体，抓住恰当教学切入点，浸润数学文化，丰富实践活动方式，体验科学研究过程，帮助教师提升育人的自觉意识和行动，深化落实立德树人根本任务.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[3]王尚志，张饴慈，吕世虎，等. 理解与实践高中数学新课程：与高中数学教师的对话[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[4]林晴岚，陈柳娟，张洁. 核心素养视域下高中数学函数主线的教学理解[J]. 福建基础教育研究，2020（4）：62-64.