截口椭圆离心率问题的探究

摘 要：“圆锥曲线与方程”是在圆与立体几何之后学习，教材中简明扼要地介绍了圆锥曲线的由来.圆锥曲线的离心率问题一直是高考中的热点，而求椭圆的离心率又是最常考的内容，本文就一道求平面截圆锥形成的椭圆的离心率进行探究，以期找到求圆锥曲线离心率的一般规律.

关键词：椭圆;离心率;圆锥截面

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0068-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：康琳（1979.10-），女，四川省南充人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

题目 设圆锥的轴截面是一个正三角形，用一个与圆锥底面成30°夹角的平面去截圆锥，所得截口曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为.

思路1 确定椭圆上特殊点的坐标

如图1，不妨令正△ABC边长43，重心G，椭圆中心N，中线BD，底面圆心M.PG与长轴垂直. BG=4，GD=2，则NG=1.PG为过G与底面平行的圆的半径.如图2在△AMC，作GE∥MC，由相似易得GE=433，所以PG=433.如图3，即P（1，433），代入方程x2a2+y2b2=1，又2a=6，解得b2=6，e=33.

思路2 椭圆短轴所在的圆截面上利用勾股定理计算短半轴长

如图4，不妨令正△ABC边长43，重心G，底面圆心M.椭圆中心N，过N作底面的平行平面，得⊙O.椭圆N与⊙O交线PQ即为短轴长2b.如图5，在圆锥的轴截面正△ABC中，易得NG=1.Rt△NGO中，GO=12，作OF∥MC，由相似易得OF=PO=332.如图6，在⊙O的Rt△PON中，由勾股定理易得PN=b=6，e=33.

思路3 构造三角形，利用相似计算短半轴长如图7，不妨令正△ABC边长43，椭圆中心N，底面圆心M，NE为椭圆的短半轴，连接AN并延长交BC于点P，连接AE并延长交底面于点F.如图8，在圆锥的轴截面正△ABC中，NO⊥AM，由△APM～△ANO，

AN∶AP=AO∶AM=3∶4，PM=233.由底面半径23易得PF=463，故NE=b=6，e=33.

思路4 构造直角三角形，利用勾股定理计算短半轴长. 

如图9，不妨令正△ABC边长43，重心G，底面圆心M.椭圆中心N，过N作底面的平行平面，得⊙O.椭圆N与⊙O交线PQ即为短轴长2b.同思路2得AO=332，NO=32.在Rt△AON中，由勾股定理易得AN=21，在Rt△AOP中，⊙O的半径OP=332，由勾股定理易得AP=1082.又因为Rt△APQ是等腰三角形，所以在Rt△ANP中， PN=b=6，e=33.

思路5 利用Dandelin球与截面、侧面相切，切点为焦点

如图10，圆锥上部球O1与椭圆截面、圆锥侧面相切，如图11，轴截面△ABD的内切圆O1，与三边的切点分别为M，N，F，其中F是椭圆的右焦点. 不妨令正△ABC边长43，则AB=43，AD=23，BD=BF+DF=6=2a，又BF-DF=BN-DM=AB-AD=23=2c，所以e=33.

点评 以上五种思路都充分利用了特殊的几何关系，特别是条件里的正三角形使计算比较容易，如果将题目中轴截面改为等腰三角形（非正三角形），夹角非特殊角度时，几何关系的不明确将增加运算难度，甚至运算难以进行，于是产生了对这道题的进一步探究.

结论 平面截圆锥所得截口曲线——椭圆的离心率e=cosαcosβ，其中截面与底面夹角的余角为α，圆锥母线与轴夹角为β，如图12.

证明 如图13，A1A2为椭圆的长轴，圆锥上部球O1与椭圆截面、圆锥侧面相切，轴截面的内切圆O1，半径为r，与A1A2切点为椭圆的右焦点F.设∠O1A1F=θ，∠O1A2F=φ，易得θ=α-β2①，φ=π-（α+β）2②.A1F=a+c=rtanθ ③，A2F=a-c=rtanφ④.由③÷④得，a+ca-c=tanφtanθ=1+e1-e，解得e=tanφ-tanθtanφ+tanθ=sin（φ-θ）sin（φ+θ），

聯立方程①②，解得φ+θ=π2-β，φ-θ=π2-α，所以e=sin（π2-α）sin（π2-β）=cosαcosβ.

思路6 e=cosαcosβ=cosπ3cosπ6=33.

点评用此公式求截口曲线——椭圆的离心率不仅快捷，而且更具有普适性.

推广 平面截圆锥形成的三种截口圆锥曲线均可以利用公式e=cosαcosβ求离心率.

若α>β，cosα<cosβ，e=cosαcosβ∈（0，1），则截口曲线为椭圆.

若α<β，cosα>cosβ，e=cosαcosβ∈（1，+∞），则截口曲线为双曲线.

若α=β，cosα=cosβ，e=cosαcosβ=1，则截口曲线为抛物线.

小结 本文的题目以“截面椭圆”为载体，既考查了学生直观想象的核心素养，也考查了数学抽象的核心素养，在这个过程中，还需要学生具备较强的逻辑推理能力和数学运算的能力;就这个题目而言，以上多种思路需要用到数形结合的思想，化归及转化的思想.同时也揭示了平面解析几何的本质思想—几何问题代数化.这强调了知识的交叉，渗透和综合，因此，这个题目的综合性较强，是立体几何与平面解析几何综合考查的典范，极具探究意义.

  参考文献：

[1]何婷.椭圆离心率的求解思考[J].数学学习与研究，2019（01）：129.

[2]李莹琪.椭圆离心率求解方法探究[J].科学咨询（科技·管理），2019（02）：165-166.

[3]严吉瑞.圆锥截面定理及其应用[J].抚州师专学报，1989（02）：20-23.

[4]陈小娟，陈清华，柯跃海.基于阅读材料的截面椭圆试题赏析[J].福建中学数学，2015（03）：1-2.

[责任编辑：李 璟]