导数中两个或多个变量问题初探

陈新华

导数中两个或多个变量问题是导数专题的一大难点，它不仅要求考生熟练掌握各知识，更要注重各知识间的渗透、交叉、综合。同时又要有较强的推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力。它通常出现在选择题或填空题的后两道或是压轴题。它是区分数学尖子生与非尖子生的一把标尺。那该如何突破？笔者在平时的教学中通过归纳，总结了一些主要且常见的题型让学生比较，分析并通过相应的题型进行训练收到比较好的效果。本文就导数中两个或多个变量问题谈三种解决方法。

1、最值法

例1已知，若使得，则实数m的取值范围是              。

解析在[0，3]上单调递增在[0，3]上单调递增;。又g（x）在[1，2]上单调递减，

所以，依题意得，只需满足，即只需，则实数m的取值范圍是。

评注例1是带有或这样量词的两个变量，同时涉及到两个不同函数之间的关系，如果两个不同函数之间是不等关系，则他们的解题方案都是转化为最大值或最小值之间的不等关系;如果两个不同函数之间是等式关系，则它们的解题方案要转化为两个函数的值域之间的包含关系。

2、单调性法

例2已知且恒成立，则实数a的取值范围是       。

解析由令

则在[1，2]上单调递减，即在[1，2]上恒成立，

当x=1时，显然恒成立，;当时，只需恒成立即可。

令则

当时，所以在（1，2]上单调递减，则

，综上实数a的取值范围是

评注例2这种题型要注意和例1作比较，它是属于同一个函数两个变量的恒成立问题，其解题的切入点就是转化为函数的单调性问题来求解。当自变量的大小关系与其对应函数的大小关系同号时就是单调递增，异号就是递减。再根据单调递增函数等价于导函数值大于等于0;单调递减函数等价于导函数值小于等于0就能快速求解。

3、换元法

例3已知若函数存在两个零点证明。

解析

不妨设

将上式两式分别相加相减后消去参数可得，所以要证明原不等式成立.只需证明成立，令，则即证成立，设则则g（t）在上单调递增，即，所以原不等式成立。

评注例3有三个变量，首先要先消掉与所要求证的式子无关的变量，在分析剩余的两个变量是否有主次之分，如果这两个变量没有主次之分就采用换元法，而换元时也要看式子的结构特征如有齐次结构就采用将两个变量相除后再用一个参数替代达到消元;如有出现两根之和及之积这种结构特征则采用整体替换的方法达到消元。

综上所述，含有两个或多个变量的导数问题对学生来说确实比较困难，这类题型的突破不是一朝一夕的，平时要加强训练，而且要善于分析，所以教师在课堂教学中要适时的给以引导并归纳总结方法，这样学生才能以不变应万变最终解决这类难题。

参考文献

[1]冯小明，棱锥外接球问题初探，福建中学数学，2018年（1）：43-44

[2]陈德燕，基于数学思想方法的导数问题求解策略分析，福建中学数学，2018年（5）：38-41