圆锥曲线的焦半径公式及其应用

白建红

圆锥曲线是高中数学的重点内容，也是高考必考的内容之一.圆锥曲线的焦半径是指连接圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度.圆锥曲线的焦半径公式在解答圆锥曲线题中应用较为广泛.在教学中，教师应指导学生掌握圆锥曲线的焦半径公式，并将其应用于解题，以提升解题的效率.

一、椭圆的焦半径公式

如图，设[M（x0，y0）]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上的一点，[r1]和[r2]分别是点[M]与点[F1（-c，0）]，[F2（c，0）]的距离，那么左焦半径[r1=a+ex0]，右焦半径[r2=a-ex0]，其中e是离心率.

例1.[F1、F2]是椭圆[x24+y2=1]，求 [|PF1||PF2|]的最大值和最小值.

解析：设[P（x0，y0），]

则[|PF1|=2+32x0，|PF2|=2-32x0，]

所以[|PF1|·|PF2|=4-34x20.]

因为P在椭圆上，所以[-2≤x0≤2]，[|PF1||PF2|]最大值为4，最小值为1.

在进行解题教学时，教师首先要引导学生明确PF1、PF2为椭圆的焦半径，然后根据椭圆的方程得出PF1、PF2的表达式，根据椭圆的范围来确定[|PF1||PF2|]的最值.椭圆的焦半径公式在解答此类问题的过程中能起到重要的作用.

二、双曲线的焦半径公式

已知双曲线标准方程[x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）]，[P（x，y）]为双曲线上的任意一点，且[F1]为左焦點、[F2]为右焦点，e为双曲线的离心率.教师可以引导学生由双曲线的第二定义得出：对任意x而言，总有[|PF1|=|（ex+a）|;|PF2|=|（ex-a）|].若点[P（x，y）]在右支上，有[|PF1|=ex+a] ;[|PF2|=ex-a];若点[P（x，y）]在左支上，有[|PF1|=-（ex+a）] ;[|PF2|=-（ex-a）].双曲线与椭圆的焦半径公式极其相似，在教学中，教师要引导学生对这两部分内容进行区分.

例2.双曲线[x29-y216=1]，[F1、F2]，点P在双曲线上，若[PF1⊥PF2]，则点P到x轴的距离为（       ）.

解析：不妨设P在双曲线的右支上，设[P（x0 ，y0）] ，

则[|PF1|=ex0+a=3+53x0，]

[|PF2|=ex0-a=53x0-3，]

所以[|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2]，

即[3+53x02+53x0-32=100]，解得[x20=26925]，

又因为[x29-y216=1]，所以[y20=25625，]

故点P到x轴的距离为[156].

三、抛物线的焦半径公式

若抛物线[y2=2px （p>0）]，[P（x ，y）]为抛物线上的一点，则其焦半径公式为[|PF|=x+p2].若抛物线方程为[y2=-2px（p>0），|PF|=p2-x]，若抛物线方程为[x2=2py（p>0）   ，|PF|=p2-y;]若抛物线方程为[x2=-2py][（p>0） ，|PF|=p2+y.]

例3.过抛物线的焦点F的弦AB被F分成长为[m，n（m>n）]的两段，那么有（      ）.

A.[m+n=mn] B.[m-n=mn]

C.[m2-n2=mn] D.[m2-n2=mn]

解析：设[A（x1，y1），B（x2 ，y2）]，

则[m=|AF|=1+x1，n=|BF|=1+x2.]

将[y=k（x-1）]，[y2=4x]， [k2x2-2（k2+2）x+k2=0  ，]

所以[x1x2=1，]

[则mn=（1+x1）（1+x2）=1+（x1+x2）+x1x2=2+（x1+x2）]=[m+n].故选A.

由于椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式较为相似，因此在教学中，教师应引导学生将椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式进行对比，了解它们的区别和联系，以加深对焦半径公式的理解，这样，学生在解答相关问题时，能举一反三.

（作者单位：甘肃省环县第四中学）