怎样用代换法解高中数学题

李小鹏

代换法是指利用知识间的关联性把复杂的数学问题简单化，从而转化数学关系，提高解题效率的一种解题方法.常见的代换法有等量代换、变量代换、三角代换、比值代换等.教师要在教学中引导学生熟练运用代换法，提升解题的效率.

一、运用等量代换，简化解题过程

等量代换是指通过挖掘题目中暗含的信息，用一些量去代表另一些量，把题目中的已知数学关系转变成简洁明了的数学表达的方法.在解题教学中，教师要引导学生梳理题目中涉及的各种数量之间的关系，将各种繁琐的关系用简单的量表示出来，进行等量代换，再通过分析、组合等途径，得出最终结果.

例1. 一个袋子里装有6个大小、形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取1个球，记下编号后放回，再任取1个球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是多少？

解析：教师可以指导学生运用等量代换法，设第一次取出的球为x，第二次取出的球为y，则两次取球的基本情况（x，y）有：

学生通过列树状图发现（x，y）总共有36种可能性，而x+y=4 的情况有10种，所以得出概率为[p=1036=518].

有些概率问题要求求出一个事件所包含的所有可能性的情况，而这些结果如果用语言或者文字表示较为繁琐，用合适的量代换，不仅能简化解题的过程，还能加快解题的速度.

二、运用变量代换，转换解题的思路

变量代换是一种引入变量、转化关系的解题方式.当遇到运用常规方法求解比较困难的问题时，教师可以引导学生尝试找出一个可以替代的变量，建立新变量与已知条件间的关系式，灵活运用相关的性质、公式等来转换解题的思路.

例2. 求函数[y=log12（x2+6x+13）]的值域.

解析：本题中的變量过于复杂，运用常规方法求解较为困难.此时，教师可以指导学生运用变量代替某些量，来转换解题的思路.令[u=x2+6x+13=（x+3）2+4≥4]，所以这个函数可以看作是由[y=log12u] 和[u=（x+3）2+4]两个函数复合而成的，而内函数的值域是[4，+∞），以（-3，4）为最低点，先递减后递增;而外函数[y=log12u]的底数小于1，所以外函数在[4，+∞）上递减，故[y=log12u≤log124=-2]，因此函数[y=log12（x2+6x+13）]的值域是（-∞，-2].

学生利用变量代换拆分了原有函数，找到了两个函数解析式之间的连接点，内函数的值域就是外函数的定义域，然后一步一步扫除了思维障碍，顺利解题.

三、运用三角代换，降低解题的难度

三角代换之所以会成为一种常用的解题方法，其原因在于三角函数的性质、公式众多，规律性极强，如果能将其它数学表达式转化为三角函数，就会增加许多可供利用的条件，大大降低解题的难度.教师要在平时的教学中多培养学生的联想能力，让学生学会结合三角函数的图象、性质、公式，将其它数学表达式进行代换，掌握三角代换的技巧.

例3.若实数x、y满足[4x2-5xy+4y2=1]，设[S=x2+y2]，求[1Smax+1Smin]的值.

解析：教师可以先让学生寻找一些与三角函数相关的信息，学生就会由[S=x2+y2]联想到cos2a+sin2a=1，把x、y进行三角转换，设[x=Scosa]，[y=Ssina]，将其代入[4x2-5xy+4y2=1]中，得[4S-5S·sinacosa=1]，[解得S=28-5sin2a;]又因为-1≤sin2a≤1，所以[213≤]

[28-5sin2a≤23]，[1Smax+1Smin=32+132=8].

该解法正是根据[S=x2+y2]与[cos2a+sin2a=1]的相似性，实现三角代换的.

总而言之，运用代换法能使复杂的数学关系明朗化.教师要重视锻炼学生的分析、联想能力，让学生学会自主运用代换法来提升解题的效率.

（作者单位：宁夏回族自治区青铜峡市高级中学）