殊途同归

张占宾

摘 要：数学是一门以严谨性著称的学科.数学学科的严谨性在答案上彰显得淋漓尽致，每道数学题都有唯一的答案（多选题除外）和确定的结果.但是得到这个结果的方法和途径却不是唯一的.条条大路通罗马，同样的在解答数学题目时对于一种类型的题目可以有多种不同的解法.本文将以2019年高考数学一卷第4题为例详细阐述如何采用多种解法得出题目的最终答案.

关键词：数学题;解题方法;高考

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）16-0018-02

一、由因推果，正向解题法

正向解題法是最为常规和普遍的解题方法，他主要根据题目中所给出的相关条件（显性条件和隐性条件）列出数学算式并最终得到结果.因此在数学题目的解答中，这种方法是最为普遍的、最为常规的一种解法.

我们结合2019年高考数学全国一卷第4题详细阐述正向解题法.首先是这道题目“古希腊时期，人们认为最美的人体的头顶至肚脐的长度与肚脐是足底的长度之比是（5-1）/2（≈0.618），这被称为黄金分割比例.著名的‘维纳斯断臂便是如此’，此外最美的人体头顶至咽喉的长度与咽喉至肚体的长度之比也是（5-1）/2，若某人满足上述两个黄金分割比例，前腿长为105厘米，头顶至脖子下端的长度为26厘米，则其身高可能是（  ）.A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm”.通过阅读这个题目我们可以发现他所给出的条件是非常多的，而且在题干中除了考查学生的数学知识以外还额外地向学生科普了有关黄金分割比例的知识，是一道非常精彩的题目.那么我们通过正向解题法来分析这道题目，大致解题过程如下：首先根据已知条件，分别求出身高的上限和下限.题目中明确给出了腿长为105厘米，而腿长是等于肚脐到足底的长度的，而根据题目中的黄金分割比例就可以算出头顶至肚脐的长度为105×0.618=64.89厘米，再把头顶至肚脐的长度与腿长相加就可以得到身高下限为169.89厘米.然后计算身高的上限：已知条件头顶到脖子下端的长度为26厘米，这可以理解为头顶至咽喉的长度，而后根据是26厘米就可以计算出咽喉到肚脐的长度为26/0.618≈42厘米，肚脐到足底的长度为（26+42）/0.618≈110厘米，然后把这三个部分的长度相加就可以得到身高总值上限为178厘米.由此可以推断，正确答案应当位于169.89～178的区间内，而4个选项中只有B项175厘米满足这一条件，所以正确答案为B.

二、由果推因，反向解题法

通往罗马的路不止一条，得出正确答案的方法也可以有很多种.比如在一些题目中可以采取逆向思维，这类思维在数学证明题中以反证法的形式运用的最多，但是这类思维在其他题型中也有用武之地，比如说本文中所选的这道高考真题.由于这是一道选择题，4个备用选项中必然有一个是正确的，所以在解决这道题目时也可以采用逆向思维法，把每一个结果当成正确的代入题干中求取黄金分割比例并验证自己计算出的黄金分割比例是否与题干中的黄金分割比例一致.如果自己计算出的黄金分割比例与题干中的相差甚远那么对应的答案就是错的，反之则说明所选答案为正确.

仍然是这道题目，我们可以把每一个选项依次代入题干中，具体步骤可以按照以下方法展开：首先是A项165厘米，我们把这一项当成正确答案代入题干中，通过列数学算式“165-105-26”得出脖子至肚脐的长度为34厘米.而后我们根据题干中所给出的黄金分割比例的定义进行计算，头顶至肚脐的长度为60厘米，那么头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为60/105≈0.571，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐长度的比例为0.764.接下来看C项185厘米，采用与a项解题思路相同的方法，先求出咽喉至肚脐的长度为54厘米，所以头顶至肚脐的长度为80厘米，那么这一数值所产生出的黄金分割比例为80/105≈0.762，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比例为0.481.用此同样的方法验证其余两个选项，我们可以发现在4个选项中只有B项的175厘米与实际的黄金分割比例最为接近，所以正确答案为B.

通过观察我们不难发现，反向解题法虽然在逻辑上可以帮助学生更好地理解，但是在实际的解题过程中，学生需要消耗大量的时间和精力.而且由于黄金分割比例数值为无限不循环小数，所以学生在逆向求解黄金分割比例数值时很难实现精确的结果.虽然反向解题法也可以得出最终的答案，但是在分秒必争的高考考场上此种方法不应当作为学生的首选.

三、寻根溯源，生活解题法

数学是一门来源于生活的学科，所以在日常生活中就可以发现一些数学题目的答案，只不过学生长期受到教室教学环境的影响固化了思维，难以想到结合数学科目的特点密切联系实际生活，在实际生活中寻找答案.但是这道题目的出现却给了学生一个非常明显的提示，我校的部分学生就是通过密切联系实际生活的方法得出了这道题目的计算结果.

通过阅读这道题目，我们获取了一个非常重要的信息就是黄金分割比例，黄金分割比例讲述的对象是人体身高以及各个部分之间的比例系数，所以这与人体的审美密切相关.而且在题目中所提到的维纳斯断臂作为一座非常著名的以人为主题的雕塑对学生而言并不陌生，所以我们可以结合现实生活的具体案例解答这道题目.比如当下阶段的学生热爱追星，对明星的基本情况非常了解，而在当下阶段的明星关××，其身高条件完美地契合了黄金分割比例.在2019年的高考中，我校的部分学生虽然不知道具体的解题过程如何开展，但是他们看到黄金分割比例的字眼首先就联想到了这位明星，这位明星的身高就是175厘米，所以这些学生通过这种方式选出了正确答案.此外也有部分学生反映，在讲解三角形时，涉及到勾股定理和切割三角形时，教室也在课堂上向大家大致地介绍了黄金分割比例的知识，并在班级内挑选了一名符合黄金分割比例条件的同学现身说法，这让很多学生印象深刻，最终也帮助他们在解答这道高考题时选出了正确的答案.

数学题的答案是非常严谨的，但是得到其答案会有多种不同的方法，因此在面对一道数学题目时我们不能仅仅停留在把题目做对就行的程度而是要尝试从多个角度以各种不同的方法解答这道题目，这不仅有利于对该题目认识的进一步深化同时也有助于发散数学思维，提升数学能力.

参考文献：

[1]郭道明.中学生创新思维能力的培养——从一道数学题的多种解法谈起[J].南阳师范学院学报，2009，8（09）：120-121.

[2]卢昌海，周丰.浅谈解数学题的思维方法——一道题的多种解法联想[J].昭通师专学报，1996（03）：71-73，79.

[责任编辑：李 璟]