分析高中数学解题中的隐函数求导法的应用

陈创明

摘 要：文章就简单分析隐函数的概念及求导的法则，接着分析高中数学解题中隐函数求导法应用存在的不足，最后探讨隐函数求导法具体的应用，仅供参考。

关键词：高中数学;隐函数求导;求导法则;具体应用

一、隐函数定义分析

隐函数就是由隐式方程式所隐含定义的函数。即没有指明x与y存在的函数关系y=f（x），而是直接给出f（x，y）=0的关系。如方程式f（x，y）=0能确定y是x的函数，那么这个函数式就是隐函数。在数学领域，隐函数是相对于显函数而言的。所谓的显函数就是在解析式中能明显地用一个变量的代数式来表示另一个变量，这个函数式就可以被称为显函数，其表示式为y=f（x）。例如：函数y=3x+5就是显函数，而函数x2+y2+2=0就是典型的隐函数。具体来说，假设f（x，y）是某一定义域上的函数，如果存在定义域上的子集D，使得对每一个x都属于D，则存在着相应的y满足函数f（x，y）=0，这样就可以称该方程确定了一个隐函数，记为y=y（x）（见图1）。

在数学领域，显函数与隐函数具有明显的区别，具体表现在：第一，显函数都是用y=f（x）来表示的函数，左边是一个y，而右边是x的表达式。例如：y=2x+1。而隐函数则是x与y混合在一起的表达式，如2x-y+1=0;第二，隐函数不一定能写为y=f（x）的形式，如x2+y2=0;第三，在某些情况下，部分隐函数可以转化成显函数，这种转化形式被称为隐函数显化。但也有部分隐函数是无法显化的，比如说ey+xy=1，就是无法显化的隐函数。

二、隐函数求导法则简析

在高中数学隐函数求解的过程中，对于一个已经被确定存在着的且是在可导的情况下，我们就可以运用复合函数求导的链式法则对其进行求导。在求导的过程中，我们可以在方程的左右两边先对x进行求导，因为函数中的y其本质是变量x的一个函数，所以，我们就可以直接得到带有y'的一个方程，接着就可以继续化简得出y'的表达式。

三、高中数学解题中常用的隐函数求导法

（一）抛物线求导法

在数学领域，圆、椭圆、雙曲线和抛物线都不是函数，因此，在求解这类隐函数方程时都是求解切线方程及切点弦方程。

例如：已知抛物线C：y2=x及C上一点A（1，1），过点A作抛物线C的切线，求切线方程。

解析：针对这道题，可以对方程y2=x的两边直接求导，这样就可以得出2y·y'=l，进而得出y'=1/2y。在点A（1，1）处的导数y'|x=1=y'|y=1=1/2。因此，该隐函数抛物线的切线方程就可以表示为：y-1=1/2（x-1），也就是x-2y+1=0。

（二）椭圆切线方程求导法

正如笔者在上文所说，椭圆也不是函数，这类型的函数问题也是切线问题。而且这类型的切线问题是导数知识与解析几何知识的交汇点，是近年来高考数学的热点问题，特别是知道切点坐标时，使用椭圆的切线方程进行求导就成为一种十分简便的手段。

例如：椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（>b>0）上一点P（x0，y0），求过点P的椭圆C的切线方程。

分析：针对这道题，我们可以使用隐函数来对椭圆的切线方程进行求导。

解析：对该方程求导可以得出2x/a2+2yy’/b2=0，接着就可以得出y'=-b2x/a2y，即该椭圆的斜率为-b2x0/a2y0。因此，本题所求的椭圆C的切线方程就是：y-y0=-b2x0/a2y0（x-x0），经整理后可以得到：x0x/a2+y0y/b2=1。

（三）对数求导法

在实际解题中，很多显性函数在求导时比较困难，解题的过程十分复杂，稍不注意就会出错，从而导致求导的结果出现偏差。针对这样的函数问题，我们可以将其转化为隐性函数，然后就可以对转化后的隐性函数进行对数求导。这样一来，运算起来就可以变得简单又方便。在实际操作中，我们可以在转化后的隐函数方程两边同时取对数，就可以用隐函数求导法进行求导了。

例如：求函数y=xsinx（x>0）的导数。

解析：针对这道题，在进行求导时就可以对该方程式左右两边同时进行取对数处理，这样就可以得到lny=sinxlnx。这时两边同时对x进行求导，就可以得到1/y·y'=cosx·lnx+sin·1/x，通过求解就可以得出y'=xsinx（cosxlnx+sinx/x）。

四、高中数学隐函数求导法教学的策略

在教学中，教师首先要向学生讲解隐函数求导的四种方法，然后根据教材中贴近学生实际生活的例题进行适当变型，引导学生以学习小组为单位，通过相互交流探讨，准确抓住变量与变量之间关系改变带来的变化，灵活运用抛物线求导法、椭圆切线方程求导法、对数求导法和直接求导法，得出相应的结果，从而提高他们解决相应问题时的速度和准确率，这样就能帮助学生在高考时获得更好的分数，考入理想的大学。

结束语：综上所述，在高中数学教学中，教师必须重视隐函数求导法的讲解，鲜香菇而生传授有效的求导方法，并鼓励学生在解决具体问题时根据题目的要求，灵活选择合适的隐函数求导法解决问题，提高运算的速度和准确率，避免丢分，从而取得理想的成绩。

参考文献

[1]戴志敏，冯孝周.利用偏反函数求解多元隐函数的偏导数J].高等数学研究，2017，020（002）：8-10.

[2]焦佳.高职院校高等数学探究式教学设计——以隐函数求导公式教学为例[J].职业，2017（21）：114-114.

[3]陆生琪.关于一道多元抽象复合函数求导法的教学探究[J].科技视界，2017（05）：231-231.