寻找向量问题中的“圆”

摘 要：本文通过三例说明在向量问题中找出轨迹圆对解题的作用.

关键词：向量;圆

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0058-02

收稿日期：2020-05-05

作者简介：俞新龙（1976-），男，浙江省绍兴人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

向量作为高考必考的知识点已经成为高考命题者尝试创新命题的一个重要阵地.近年来在高考和各省市模拟卷中出现了不少有新意的考题，其中有一些考题若能挖掘出题中隐含的“圆”，则问题便能较好的求解.下面举三例说明.

例1 （2018年浙江高考9）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是（）.

A.3-1B.3+1C.2D.2-3

解析我们知道向量是数形结合体，故一般向量问题都会有两种解决办法：代数法和几何法.下面我们就从这两个方面来进行求解.

代数法（坐标法）：如图1建立平面直角坐标系，设e=OE=（1，0），a=OA，b=OB=（x，y），则可知A在射线y=3x（x>0）上.又根据等式b2-4e·b+3=0可得（x-2）2+y2=1，所以知B在以2，0为圆心、1为半径的圆上.|a-b|的几何意义是线段AB的长，即圆（x-2）2+y2=1上任意一点B与射线y=3x（x>0）上任意一点A的距离，故|a-b|的最小值显然是圆心2，0到射线y=3xx>0的距离3减去圆半径1.

故答案为A.

几何法：因为b2-4e·b+3=b2-4e·b+3e2=b-e·b-3e=0，即BE·BD=0，

所以BE⊥BD，如图1所示.则可知B在以ED为直径的圆上，即得B的轨迹为（x-2）2+y2=1，其余做法同代数法，略.

评注 代数法中的圆从方程中能够直观得到，但几何法中的圆需要结合直角三角形直角顶点一定在以斜边为直径的圆上这个性质.

例2 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足|c-a|=12，则a+b-c+2c-b的最小值为.

解析 如图2，以OA=a，OB=b，则a+b-c+2c-b=CD+2CB.设C（x，y），由|c-a|=12得（x-1）2+y2=14.则根据阿波罗尼斯圆知可在AD上找一点E（1，m）使CD=2CE，即x-12+（y-1）2=2x-12+（y-m）2，化简得x2-2x+y2-8m-23y+4m2+23=0，此方程与点C轨迹方程是一样的，则8m-23=0，4m2+23=34，解得E（1，14），则a+b-c+2c-b=2CE+2CB≥2BE，故a+b-c+2c-b≥52.

評注 阿波罗尼斯圆的正用不难，难的是逆用甚至变用，一般求两条比例为1：λ（λ≠1）的线段和就可以试着用阿波罗尼斯圆的性质进行求解.

例3 已知平面向量a，b，c满足c=4，a·c-a=b·c-b=3，当a与b的夹角最大时，a·b=.

解析设c=OC=（4，0），由条件等式a·c-a=b·c-b=3整理得a-c22=b-c22=1，即知向量a与b是2，0为圆心、1为半径的圆上的两个动点.记a=OA，b=OB，如图3所示，OA、OB与圆相切时向量a与b的夹角最大，此时A（32，32），B（32，-32），所以a·b=94-34=32.

评注 配方是个难点，从配方式子中看出轨迹是圆是关键点.

参考文献：

[1]韩文美.你若盛开，“隐圆”自来[J].高中生之友，2019（1-2）：64-65.

[责任编辑：李 璟]