从经典的摸球模型理解传染病的传播

谭姣妮

【摘 要】试图结合现在的实际教学与实践，把概率论中从最常见的摸球模型来简单的讲解传染病的隔离治疗的必要性从而更好的提高学生在概率论学习过程中对于各种概率对现实意义的理解。

【关键词】摸球模型;传染病;现实意义

一、引言

今年以来新冠病毒在世界范围内传播造成了很多人的死亡，也为世界经济和和平造成了巨大的损失，目前为止每天的新闻报导中新冠的得病人数依然在不断上升，死亡人數也是触目惊心。我们的国家在隔离治疗的过程中取得了很好的效果，虽然戴口罩是个很简单的防护但是不可否认这个必要的步骤对于新冠的传染有很好的阻断作用。也因为新冠病毒的大规模传染让人们开始从各个不同的角度来认识传染病传播模型但是有些真的非常的专业对于大部分而言就是一篇篇高深的学术论文根本无法看懂。所以我想结合我们概率论中古典概型中最常见最好理解的摸球模型来简单直观的浅显的讲一下传染病模型，让大部分学生学以致用更好的理解概率论的现实意义，以提高对概率论学习的兴趣。

二、摸球模型

1.古典概型是概率论中非常重要的一个一种概型，它是概率论发展初期的主要研究对象，它有两个要求：1试验的样本空间只包含有限个元素即结果的数量是有限的，2试验的每一个基本事件发生的可能性是相同的。现实生活中这样的试验是大量存在的，所以具有一定的实际意义，又由于等可能概型的一些概念具有直观而且容易理解的特点，所以在现实中有着广泛的应用。

2.摸球模型的来源：因为古典概型在现实生活中有着广泛的应用而且结果直观好理解，为了试验的方便以及为了更直观的讲解实际问题所以很多古典概型的试验就用建立了各种摸球的模型来直观有效的讲解各种实际问题，所以在概率论的学习初期大家就会见到很多的摸球问题。

3.摸球模型的建立规则：我们最常见的摸球模型的基本构成就是一个袋子里面装着几个球，其中有几个黑球，几个白球或者红球，这些球除了颜色以外没有任何区别也就是说我不可以通过直接触摸来判定我摸到的是什么颜色的球，同时又有两种基本的摸球方式一种叫放回抽样，字面上讲就是摸出球后对于结果进行记录后再下一次摸球前将摸出的球放回袋中搅匀后再进行下一次的取球;另一种叫不放回抽样，字面上讲就是取出球后就不放回去了。

4.摸球模型来模拟传染性模型的用意：摸球模型简单易懂好理解，即使没有很高的文化修养只要有一定的常识的小朋友都能够大致的理解所以用摸球模型来做一些简单的科普是比较容易的。所以我们就此讲一个最简单易懂的摸球模型来大致模拟一下传染病模型。

5.波利亚摸球模型：在概率论课上讲全概率公式条件概率时我们经常会讲这么一道例题：

设袋中装有r红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并且再放入a只与所取颜色相同的球，那么若在袋中连续取球4次，试求第一第二次取得红球第三第四次取得白球的概率。

解：设以Ai（i=1，2，3，4）来表示事件“第i次取得红球”，则A3，A4分别表示第三次，第四次取得白球。

其实这道题是一个非常典型的摸球问题，基本上要求所有学习概率论的同学都必须会做的，可是你知道吗这就是波利亚用来描述传染病的模型。

三、实际意义

怎么才能把这么一个经典的摸球问题与传染病联系起来呢？这个模型的最大特点是每一次取出球后就会增加与取出的球相同颜色的球的个数，而与取出球不同颜色的球数量不增加，这样每次取出的球什么颜色就增加了下次也取得这种颜色球的概率。如果我们将其中一种颜色的球代表被感染者，另一种颜色的球代表未被感染者，增加的球就是可排除的或者再感染者，这样我们就很容易得到了一个传染病的模型，由此也就很容易得到一个非常浅显的道理，每发现一个患者就会增加再传染的概率，同时我们也可以从这个摸球的模型中非常直观的理解传染病模型的简单规则以及及时有效进行隔离治疗，对于可能存在的在感染人群的隔离的必要性，这样我们就很容易理解我们国家在新冠疫情下做出的决定是非常必要和有效的，事实也证明了这一点。实际上这么一个简单的摸球试验不仅仅可以解释传染病也可以从另一个角度来解释别的问题例如：假设现在有一种传染性疾病，我们近期发现了一种新的治疗方案，为了研究这种新方案的效果，我们需要抽取部分病人做医疗研究并和采取传统治疗病人做对照试验，这样的话对照组合实验组的人数是必须完全相同的，但是如果这是一种致死率相当高的疾病那么这种实验显然是不太理想且不太合适的，这时候我们的波利亚罐子模型的作用就体现出来了，模型中的红球和白球分别代表使用新旧两种方法的的人数，用取球后加入个相同颜色的球来模拟一个病人传染给了个病人。假设共有个病人使用了新方法，个病人使用了传统方法，个人中方法A且治愈了，个人用方法B且治愈了，用方法且治愈的概率为，未治愈的为;用方法且治愈的概率为，未治愈的概率为，这样也可以很直观的评价这种的新治疗方案是否有效但是当然了在实际应用中不可能如此的简单粗暴但是这种简单的模型确实可以在很大程度上帮助我们理解和应对现实问题。所以在现实生活中波利亚的这个模型在医疗评价中也发挥了极大的作用，尤其是对于伤害极大无法设计对照试验的传染病研究有极重要的意义。

波利亚罐子模型实际上就是一个概率论中非常金典的摸球例题，很多人觉得这么简单根本没不要去学大家都知道的东西没有必要学习也对概率论学习有很大的抵触情绪觉得就这么几种球摸来摸去没有任何意义就是教师在为难学生，实际上一个简单的摸球问题很可能就是生活中一种常见现象的实际映射只不过用摸球的方式来简单直观的解释了实际生活中的实际问题。我希望通过一些经典例题的讲解让更多的学生能够理解概率论的实际意义并学会建立模型将麻烦的问题简单化数字化更好的使用概率论的原理将生活过得更美好。

【参考文献】

[1]朱泰英，周刚.概率论与数理统计[M].北京：上海铁道出版社，2015，（1）.

[2]吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社.2009：（3）

[3]吴传生.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社.2004：（1）