大学数学知识在数学建模中的应用的调查与研究

黄磊雪 庄荔婷 王毅 国歌 杨博

摘要：本文通过调查分析高等代数、数学软件在数学建模中的应用，以及举例说明SEIR模型在预测新冠肺炎传播情况的应用，具体论述大学数学专业在数学建模中的应用的调查与研究。本论文提出的思想对于理解数学建模和大学数学课程之间的联系起到一定的促进作用。

一、引言

“大学数学”是绝大多数专业的必修课，是许多高等教育课程的基础;“大学数学”思想作为“数学”思想的高级层面，同时在金融、计算机、建筑等各行各业应用广泛。将抽象的思想落实到具体的技术中，我们需要一个“模型”，类似于把无形的水注入有形的容器;制作这个“模型”的过程，称之为“数学建模”。

二、在数学建模应用中的重要性与必要性

数学建模就是将我们生活中难以解决的复杂的实际问题，对其构建数学模型，根据数学知识进行推理、证明、求解、得出结论，并将解得的结果代入原问题中进行验证，使实际问题得以合理解决。通过大学数学专业数学分析、高等代数、解析几何等学科的学习，我们已经学习了简单行列式、函数连续性、可导性以及立体几何的求法等相关的基础知识，这为我们在数学建模中简化模型、处理数据打下了良好的基础。

（一）数学建模与建模意识

培养学生数学建模能力的关键是把实际问题能够合理的抽象成数学问题。首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，在这过程中，需要学生有敏锐的建模意识，并能根据实际问题合理忽略掉对实际问题影响较小的因素，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到将实际问题简化为数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯。

（二）构建数学建模意识的基本方法

1.教师的建模意识的提高，教师在讲述数学学科知识时可以有意无意将数学建模思想渗透到教学中。

2.数学建模教学应与教材相结合，可以将有关于数学建模的例题与大学学科知识相结合。

（三）通过构建建模意识培养创新思维

在数学学习中，构建学生的建模意识本质上就是培养学生的创造性逻辑思维能力，在建模活动过程中，培养学生独立寻求解决问题的最佳方法和途径，可以培养学生的想象能力，直觉思维、创新思维等能力。

综上所述，数学建模意识的培养可以激发学生的学习兴趣，提高学生的各种能力，并努力提高学生利用数学手段来解决实际问题的综合能力。只有这样，才能使学生学到有用的数学，使数学建模意识成为学生思考问题的方法和习惯，才能把素质教育提高到一个新的水平。

三、调查分析

（一）高等代数在数学建模中的应用[1]

高等代数是数学专业的基础课程，此课程所学习到的理论知识无论在大多数高等教育课程中，或是在解决实际问题中都有着广泛应用;其中最显著的就是特征值与特征向量。在现实问题中，往往影响一个事物的变化因素有很多，甚至一些因素对其造成的影响存在重叠的部分。而高等代数可以利用其本身的学科特点用较少的变量来代替较多的变量，进而简便我们对于问题的分析与计算。其中，最常用的是主成分分析法（PCA）、因子分析（FC）以及独立成分分析（ICA）等统計方法。

主成分分析法（PCA）利用正交变换将众多的变量化繁成简为几个主成分变量。这几个主成分变量之间既可以较完整的呈现原数据所要呈现出来的信息，也可以根据主成分及其相关数据计算出每一个成分所对应的权重比例，通过较少的变量来更优的解决问题。因子分析（FC）可以看作主成分分析的推广，在大数据的观测中将大量的观测数据指标转换为某些不相关且能代表总体的相关变量。而独立成分分析（ICA）是上述两者的拓展，更多处理数据的分离与恢复，数据之间的相对独立性。

矩阵是高等代数课程的重点内容，通过矩阵的变换可将现实中观测收集到的数据进行可视化表示。通过矩阵的变换可以对数据进行进一步的变换处理。将矩阵与线性方程组联系起来可以对数据的最优问题进行分析。通过矩阵的线性变换可以找到满足相关限制条件的最优解，借助运筹学知识解决一系列最优化问题。

（二）数学软件在数学建模中的应用

数据分析是建立数学模型过程中重要的一个环节，建模初期面对大量的原数据，先对采集后的数据进行预处理，预处理后需要对已经规范化的数据进行数学分析，通过分析得到各属性数据的关联性，相关联数据属性可以通过可视化进一步得到层次清晰的多维图形，做出清晰的可视化图形使模型更加立体化，许多数学软件都提供了强大的数据处理功能和绘图功能，熟练掌握各类数学软件对于数学模型的建立非常有利。

MATLAB是一款在数学建模中很常用的软件，它的程序设计和图形处理功能可以帮助我们更直观的建立数学模型，符号运算和数值运算的功能大大节省了计算时间。它提供了面向不同领域而扩展的toolbox，不仅可以进行数值和符号运算，还可以处理数据分析、通讯工程、信号处理、图形处理、神经网络等。诸如系统辨识常用输入信号、最小二乘参数辨识方法、极大似然参数辨识方法等，均可以在MATLAB中实现。[2]

还有一些提供特定数据处理功能的数学软件，它们虽然使用范围不够广泛但具有相应的特点。美国Lingo公司研究开发的一款专门用于求解最优化问题的软件—Lingo。Lingo软件不仅可以求解线性规划和二次规划模型，还可以用来求解线性和非线性方程。Lingo可以与excel，数据库等数据存储软件交换数据，使用方便，是求解最优化模型的特定选择。SPSS专门用于统计分析，可以从其他数据库中读入数据，导入数据方便快捷，不需要对原数据进行太多处理。随着数据挖掘的逐步发展，一些技术的使用也逐步完善，数学软件使这些技术变得简单易操作。[3]

各类数学软件对于建立数学模型的作用是立竿见影的，使用相应软件可以在完成复杂的数学模型的建立过程中作为必要环节。数学软件的熟练应用可以为我们省去很多的中间求解步骤，进而为我们问题的求解省去了大量的时间。

四、分析

由于模型存在误差，且预测的跨度越大，预测的误差可能越大。故我们可以引入强化学习的思想方法，对模型做动态训练，最小化每一小步的预测误差，以最大化中长期预测的准确度。同时，还可以结合不确定理论，来缩小数学模型与现实数据的差距，增强模型的鲁棒性。然后我们可以用短期预测看离当前较近的重大卫生事件发展趋势，用长期预测看离当前较远的重大卫生事件发展趋势。采用计算仿真来做重大卫生事件动态变化模拟，研究更贴切重大卫生事件发展实情的模型，考虑更多现实不确定性因素的影响。[4]

可以看出，大学数学知识与数学建模的结合解决了我们现实生活中很多困难抽象的问题。同时，大学数学知识中一些基础的算法概念在数学建模中有很大的实践应用，可以说，大学数学知识在数学建模中是十分有用的。

参考文献：

[1] 段渊，李小琴，胡帼一，毛奕岑.高等职业教育数学课程教学中数学建模的应用研究——以广东科技学院计算机专业为例.新课程研究，2007.5

[2]王军鹰.数学软件在数学建模中的应用，2019.10

[3]廖兴.数学建模与数学软件的应用，2013.4

[4]苏保霞.新冠肺炎传播的基本模型，2020

作者简介：

黄磊雪（1999—），男，彝族，籍贯：贵州毕节，单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院，研究方向：数学与应用数学。

项目名称：大学数学知识在数学建模中的应用的调查与研究，项目编号L（B）2019286。