圆中计算问题的模型探究

徐杰 左效平

圆中计算问题是圆的代表性考题之一，也是中考的热点.下面向同学们介绍一个圆中常考的计算模型.

一、模型探索

考题再现：（2019·贵州·毕节）如图1，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.

（1）若∠A = 30°，求证：PA = 3PB;

（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP = [12]·（90° - ∠P）成立，请你写出推理过程.

解析：（1）∵AB是直径，∴∠ACB = 90°，

∵∠A = 30°，∴∠ABC = 60°，

∴△OBC是等边三角形，AB = 2BC，∠COB = ∠OCB = 60°.

如图1，连接OC，∵PC是⊙O切线，∴∠OCP = 90°，

∴∠BCP = ∠P = ∠A = 30°，∴PB = BC = OB = OA，∴PA = 3PB.

（2）∵∠A + ∠P + ∠ACB + ∠BCP = 180°，且∠ACB = 90°，∴∠A + ∠BCP = 90° - ∠P，

由（1）知，∠BCP = ∠A，∴2∠BCP = 90° - ∠P，∴∠BCP = [12]（90° - ∠P）.

反思：此题还凸显了一般与特殊的数学思想，解完题后我们不禁要问：问题具有一般性吗？∠A在一定范围内变化，这个范圍是怎样的？不在这个范围时，结论还成立吗？会有新结论吗？于是产生了如下模型构想.

二、模型构建

模型：如图2，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B. 当0 < ∠A< 45°时，始终有∠A = ∠BCP = [12]（90° - ∠P）成立.（请同学们自己完成证明.）

三、模型运用

1. 探求角的大小

例1（2019·江苏·无锡）如图3，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P = 40°，则∠B的度数为（ ）.

A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°

解析：根据模型，得∠B = [12]（90° - ∠P）= [12] × （90° - 40°） = 25°. 故选B.

点评：熟记模型的构造条件和模型的基本结论，能大大提高选择题或填空题的解题效率.

2.探求等角

例2（2019·江苏·宿迁）在Rt△ABC中，∠C = 90°.

（1）如图4，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F. 求证：∠1 = ∠2.

（2）在图5中作⊙M，使它满足以下条件：①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法.）

[A][B][C][图5] [A][B][E][C][F][D][O] [1][2][图4]

解析：（1）根据模型得∠2 = [12]（90° - ∠A），即2∠2 = 90° - ∠A，∵直角三角形的两个锐角互余，∴∠1 + ∠2 = 90° - ∠A，∴∠1 + ∠2 = 2∠2，∴∠1 = ∠2.

（2）如图6所示，⊙M为所求. ①作∠ABC平分线交AC于F点，②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，则⊙M为所求.

证明：∵M在BF的垂直平分线上，

∴MF = MB，

∴∠MBF = ∠MFB，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠MBF = ∠CBF，∴∠CBF = ∠MFB，∴MF[⫽]BC，

∵∠C = 90°，∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切.

点评：掌握模型，不仅提供了一条灵活的解题思路，而且提高了解题效率，第（2）问熟练掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键.