因式分解的妙用

宋文宝

星期天，同学们在家做“因式分解”自测题，大家有不少困惑，纷纷登陆“三人行”微信群，向数学课代表王志禹求教.

生1：呼叫小先生王志禹，江湖救急. “已知a + b = 5，ab = 3，求代数式a3b - 2a2b2 + ab3的值.”a，b的值我不会求，怎么代入求值啊？

小先生：利用已知条件很难求出a， b的值，但可将a + b 看作整体，将原式变形，寻找其中的a + b和ab .

生2：我知道了！a3b - 2a2b2 + ab3 = ab（a2 - 2ab + b2） = ab（a - b）2 = ab[（a + b）2 - 4ab]， 因为a + b = 5，ab = 3，所以a3b - 2a2b2 + ab3 = 3×（52 - 4×3）  = 3 ×13 = 39.

小先生：嗯，不錯，就是这样.

生3：“当a，b 为何值时，多项式a2 + b2 - 4a + 6b + 18有最小值？并求出这个最小值.”这个问题需要帮忙.

小先生：求多项式的最小值，需把多项式转化为几个“非负数”与常数和的形式，即几个完全平方式与常数和的形式.

生3：听懂了！a2 + b2-4a + 6b + 18 = （a2 - 4a + 4） + （b2 + 6b + 9） + 5 = （a - 2）2 + （b + 3）2 +

5. 是这样吗？接下来呢？

生4：由 （a - 2）2 ≥ 0， （b + 3）2 ≥ 0可得（a - 2）2 + （b + 3）2 + 5 ≥ 5，即当a = 2，b = -3时，多项式有最小值，最小值为5.

小先生：不错. 这道题大家做出来了吗？试说明32020-4×32019 + 10×32018能被7整除.

生5：判断一个式子能不能被某一个数整除，关键是能不能将这个式子变形成这个数与另一个式子的积的形式. 我利用了提公因式法，将其分解为“7×（ ）”的形式.

32020-4×32019 + 10×32018 = 32018×（32-4×3 +10） = 32018×7.

小先生：棒棒哒！我再出一题：设n为整数，试说明（2n + 1）2-25能被4整除.

生6：我来！运用公式法，将其分解成“4×（ ）”的形式，从而得证.

（2n + 1）2-25 = （2n + 1 + 5）（2n + 1 - 5） = （2n + 6）（2n - 4） = 4（n + 3）（n - 2）.

因为4（n + 3）（n-2）能被4整除，所以（2n + 1）2-25能被4整除.

小先生：你的解答十分透彻到位，真不错. 因式分解的应用十分广泛，在一些求代数式值的问题中，若能稍加变化创造条件，再运用因式分解，往往可以化难为易，快速解题.