一脉相承的两个基本图形

张倩

等边三角形与正方形是大家非常熟悉的两个基本图形，共有的特点是每条边相等，每个内角相等. 因此，这两类图形相关问题的解答有着一脉相承之处. 通过对下面一组问题的探索，希望同学们能由此及彼，举一反三，真正领悟解决这类问题的思想方法.

一、与全等有关的问题

例1 如图1，G是正三角形ABC的边AB上一点，以BG为一边作正三角形BGE，连接AE，CG，那么AE = CG. 为什么？

解析：因为△ABC和△BGE都是等边三角形，

所以AB = BC，BE = BG，∠ABC = ∠EBG = 60°，

所以△AEB ≌ △CGB，所以AE = CG.

同类练：如图2，G是正方形ABCD的边AB上一点，以BG为一边作正方形BGFE，连接AE，CG，那么AE = CG. 为什么？

例2 如图3，E是正三角形ABC的边BC上一点，CF是正三角形ABC的外角平分线，∠AEF = 60°，那么AE = EF. 为什么？

解析：如图4，在AB上取一点P，使AP = CE，连接PE，

由正三角形ABC可知AB = BC，∠B = ∠ACB = 60°，

所以BP = BE，所以△BPE是等边三角形，所以∠APE = 120°，

又因为CF是正三角形ABC的外角平分线，

所以∠BCF = 120°，所以∠APE = ∠BCF;

又因为∠1 + ∠AEB = 120°，∠2 + ∠AEB = 180°- ∠AEF = 120°，所以∠1 = ∠2，

所以△APE≌△ECF，所以AE = EF.

同类练：如图5，E是正方形ABCD的边BC上的一点，CF是正方形ABCD的外角平分线，∠AEF = 90°，那么AE = EF，为什么？

二、与求角度有关的问题

例3 如图6，E，F分别是正三角形ABC的边BC，AC上的两点，BE = CF，连接AE，BF交于点P，求∠APF的度数.

解析：易证△ABE≌△BCF，所以∠1 = ∠2，又因为∠2 + ∠3 = 60°，所以∠1 +∠3 = 60°，所以∠APF = ∠1 + ∠3 = 60°.

同类练：如图7，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的两点，BE = CF，连接AE，BF交于点P，求∠APF的度数.

例4 如图8，分别以△ABC的两边AB，AC为一边作正三角形ABD和正三角形ACE，连接BE，CD交于点P，求∠DPE的度数.

解析：易证△ADC≌△ABE，所以∠1 = ∠2，

又因为∠3 = ∠4，∠1 + ∠3 = 180°- ∠DAB = 120°，

所以∠2 + ∠4 = 120°，所以∠DPE = ∠2 + ∠4 = 120°.

同类练：如图9，分别以△ABC的两边AB，AC为一边作正方形ABED和正方形ACFG，连接BG，CD交于点P，求∠DPG.

三、与旋转有关的问题

例5 如图10，P是正三角形ABC内一点，PA = 3，PB = 4，PC = 5，求∠APB的度数.

解析：如图11，将△BCP绕点B逆时针旋转60°到△BAQ的位置，

可得AQ = CP = 5，BQ = BP = 4，∠QBP = 60°，所以△QBP为等边三角形，得PQ = 4，

在△APQ中，因为AQ2 = AP 2 + PQ 2，所以∠APQ = 90°，

则∠APB = 60°+ 90°= 150°.

同类练：如图12，P是正方形ABCD内一點，PA = 1，PB = ■，PC = ■ ，求∠APB.

四、与勾股定理有关的问题

例6 如图13，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，分别以AC，BC，AB为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3，试判断S1，S2和S3之间的数量关系.

解析：设Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，则S1 = b2，S2 = a2，S3 = c2.

又因为a2 + b2 = c2，所以S1 + S2 = S3.

同类练：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，分别以AC，BC，AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形BCE、等边三角形ABF，它们的面积分别是S1，S2，S3，试判断S1，S2，S3之间的数量关系.