夯实平行四边形的基础

陈妹

学习了平行四边形，我们应该知道：

（1）研究平行四边形的性质就是研究它的边、角、对角线、对称性等方面的特性;

（2）矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，一般平行四边形具有的性质，矩形、菱形、正方形都有;

（3）矩形、菱形、正方形的判定都是建立在平行四边形的基础之上，再固有自己的本质属性;

（4）有关平行四边形的问题通常都与全等三角形息息相关.

【典型例题】 如图1，在？荀ABCD中，点E，F在BD上，BE = DF. 求证：四边形AECF是平行四边形.

证法1：如图1，易得△ABE ≌ △CDF，所以AE = CF;

同理△ADF ≌ △CBE，所以AF = CE，

所以四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

证法2：如图1，易得△ABF ≌ △CDE，得∠AFB = ∠CED，所以AF∥CE;

同理△ADE ≌ △CBF，得∠AED = ∠CFB，则AE∥CF.

所以四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

证法3：如图1，由前两种证法得AE = CF，AE∥CF，

所以四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

证法4：如图1，由前两种证法得∠EAF = ∠FCE，∠AEC = ∠CFA，

所以四边形AECF是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）.

证法5：如图2，连接AC，交BD于O，易得OA = OC，OE = OF，

所以四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

变式练1：将“BE = DF ”变为“E，F是BD的两个三等分点”，如图3，证法类同原题的证法5.

变式练2：将“BE = DF ”变为“AE⊥BD，CF⊥BD”，如图4，利用Rt△ABE≌Rt△CDF，由垂直可得直角，相比原题条件，更易得到结论.

变式练3：将“BE = DF”变为“AE平分∠BAD，CF平分∠DCB”，如图5，解析方法类同原题.

变式练4：如图6，在菱形ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE = DF，求证：四边形AECF是菱形.

解析：如图6，由典例解析知，四边形AECF是平行四边形，再由菱形ABCD可证△ABE≌△CBE，所以AE = CE，则四边形AECF是菱形. 也可连接AC，由菱形ABCD得AC⊥BD，即AC⊥EF，所以四边形AECF是菱形.

变式练5：如图7，在？荀ABCD中，E，F在BD上，BE = DF，分别延长AE，CF，分别交DC，BA的延长线于点H，G. 连接AC，GH. 求证：AC，GH互相平分.

解析：由典型例题解析知，AE∥CF，即AH∥CG，又因为BA∥DC，即AG∥CH，所以四边形AGCH是平行四边形，因此AC，GH互相平分.

反思：判别平行四边形的方法有多种，我们在解决此类问题时，不能仅仅满足于会做，还应考虑有没有其他解法，哪种解法更好. 其次，若题目的条件（结论）适当变化，问题如何解决？一个所谓难题，实际上就是在一些基礎问题上延伸或拓展. 只要我们打好基础，多角度地分析问题，多渠道地尝试解决问题的方法，就一定能点石成金.

【能力提升】

1. （2019·山东·临沂）如图8，在？荀ABCD中，M，N是BD上两点，BM = DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）.

A. 2OM = AC  B. MB = MO  C. BD⊥AC  D. ∠AMB = ∠CND

2.（2019·湖南·怀化）如图9，在？荀ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.（1）求证：△ABE ≌ △CDF;（2）求证：四边形AECF是矩形.

3. （2019·浙江·嘉兴）如图10，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上. 请添加一个条件，使得结论“AE = CF ”成立，并加以证明.

4.（2019·浙江·宁波）如图11，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，F，H在菱形ABCD的对角线BD上. （1）求证：BG = DE;（2）若E为AD的中点，FH = 2，求菱形ABCD的周长.

答案：

1.A

2.（1）由“AAS”证明△ABE≌△CDF即可;（2）证出∠EAF = ∠AEC = ∠AFC = 90°，即可得出结论.

3.答案不唯一，如添加BE = DF，根据“SAS”即可证明△ABE≌△CDF，从而AE = CF.

4.（1）证明过程略;（2）连接EG，菱形ABCD的周长为8.