批判性思维在数学学习与发展中的应用

冯言泽 梁振英 王明硕

摘要：批判性思维是创新思维的重要组成部分。本文首先介绍了批判性思维的定义，然后从一些公共基础数学课程出发，介绍了批判性思维在数学课程学习中的实例。其次通过例证阐述批判性思维在数学学习与发展中的应用，最后给出了学生如何在基础数学中培养批判性思维的建议。

1.引言

随着科技发展和经济全球化，创新成了永恒的话题。当今社会的快速发展对高等教育提出了更高的要求，人们对培养适应现代社会发展和具备多种应用能力、可以解决多种复杂的实际问题的创新型人才越来越重视[1]。《高等数学》、《概率论与数理统计》等是高等院校理工科的专业基础必修课，对学生建立随机概念，处理数据问题，培养创新思维，有着重要的作用。所谓批判性思维，通俗地讲，是带着挑剔的眼光对问题进行反思或质疑。研究表明，批判性思维是数学创新的主要因素之一，对批判性思维应用进行研究，意义重大。

2.批判性思维的界定

当前，关于批判性思维的定义有很多，其中概括较为全面的是：批判性思维是对于某种事物、现实和主张提出问题，进行合理的、反思性的分析，根据自我选择和判断，逻辑地作出主张的思考。[2]而数学批判性思维则是在数学学习的过程中，有目的、有意识的对已有的数学表述、数学思维过程及结果做出自我调节性分析、判断、解释、推理和调整的个性品质[3]其包括对自己和别人的思维进行反思总结、提出质疑、弄懂情况、独立分析的过程。对于数学问题，我们时常不满足于繁琐的正确解答，而欣赏简单、对称性等优美的结果。追求一题多解和严格的知识体系是批判性思维的重要标志，这推动着数学逻辑的不断完善。

3.数学问题中的一题多解

数学问题中有大量题目一题多解。本节以概率论中随机事件的表达和相关系数的计算以及高等数学中极限问题的求解方法简述批判性思维在数学中的广泛应用。

显然，第一、二种表达较简单，满足德·摩根律。第三种太繁琐。但三种方法可以帮助学生全面了解事件的意义。

（2）将一枚硬币（有正反两面）连续抛掷n次，X、Y分别表示正面出现的次数和反面出现的次数，求X、Y的相关系数。对于此问题，大部分同学会想到相关系数的下列求解公式

运用公式（1）求解时，比较麻烦，甚至无从下手。所以有同学试图寻找一种更简单的方法。分析题意可得X+Y=n，所以Y=–X+n。利用相关系数的性质可以直接推出X与Y的相关系数为–1，从而既快又好的得出结果。

（3）在高等数学中求解极限问题，可以利用重要极限、等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开等方法进行运算。例如解时，若用重要极限进行求解，首先要凑出重要极限的形式，然后再求解，过程比较繁琐，于是我们尝试一种新的方法，先将其化成指数形式，然后对于指数部分用等价无穷小代换或应用洛必达法则即可以快速求解。

当我们带着批判性的眼光去看待数学中问题的时候，很多数学问题会发现新的思路。这就是批判性思维的体现。加强数学题目的一题多解的尝试，有利于培养学生的创新能力。

4.完善统计知识体系

批判性思维在统计知识体系的完善和发展中起到很重要的作用。《概率论与数理统计》课程中，总体未知参数矩估计是最好的例证。未知参数矩估计是根据大数定律原理中，“样本K阶原点矩依概率收敛到总体K阶原点矩”来解决。上世纪90年代的工科统计教材中，矩估计求解思路是：令“样本K阶原点矩等于总体K阶原点矩”，从中解出未知参数。采用此方法求解未知参数的矩估计，令人感觉太过生硬，有强迫之意。所以现在的课本采用近似代替的方法，通过委婉的处理，使读者易于接受。因此，批判性思维还可以推动数学知识体系的不断完善。

5.批判性思维的培养

随着素质教育的不断发展与教育创新的不断进行，人们对批判性思维越来越重视，所以如何培养批判性思维就显得格外重要。美国耶鲁大学前校长理查德·莱文曾尖锐地指出：中国本科教育缺乏批判性思维的培养。这值得我们深思和反省。批判性思维需要师生双方相互配合，构建一种公平的、平等的、相互促进的新型师生关系[1]，对此提出如下建议：

（1）对于大学生来说，要有意识地提高创新意识和批判性思维能力[2]，长期以来，如何分析、解决、应用数学问题一直被看成是学好数学课程的关键，学生总是围绕课本上的知识学习，而不去联想实际生活中的应用，导致其思维不够灵活，同时也对知识丧失了兴趣，因此对于大学生来说，要深入理解新知识的本质，知其然，知其所以然。对于数学问题，既要学会举一反三，又要联想实际应用，有意识地培养批判性思维。

（2）对于老师来说，老师应该鼓励学生质疑问难。质疑是一种以解决特定疑问的形式推动人们追求知识的心理活动。质疑是思维之源，是學习的内在驱动力，它能使学生的求知欲由潜伏状态变为活跃状态。没有合理的怀疑，就没有思维的批判，因此，鼓励学生质疑问难，是培养学生批判性思维的重要内容[2][4]。上课前让同学们爬黑板做题，不失为一种培养批判性思维的好办法。学生在黑板前做完题以后，老师对学生做错的题目进行点评和延伸，能够拓宽学生的思维。

总之，批判性思维是对遇到的问题站在辩证的立场上对其进行反思的习惯。我们在数学课程的学习中，要善于用批判性思维来看待每一个知识点，培养独立意识与创新精神。

参考文献：

[1]赵杰梅.基于批判性思维的高校数学教学研究，武汉轻工大学学报，2016，35（3）：107-110.

[2]杨丽.浅谈在高等数学教学中批判性思维的培养，高等教育，2016，74-76.

[3]文卫星“三度”视角下的引言课中学数学教学参考（上旬）2018年第1-2期.

[4]载肖敬若.普通教育改革[M].北京：人民教育出版社，1987：78.

（1.山东理工大学物理与光电工程学院;2.山东理工大学数学与统计学院 淄博 250449）