尺规作图解题技巧

杨慧明

尺规作图是指只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法。尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。从各省市的中考题来看，尺规作图题在选择题、填空题和解答题中都有呈现，内容比较丰富，虽然难度不大，但仍需引起大家的重视。

例1（2018·北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程。

已知：如图1，直线l及直线l外一点P。求作：直线PQ，使得PQ∥l。

1在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B;

2在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q;

3作直线PQ。所以直线PQ就是所求作的直线。

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形;（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明。

证明：∵AB=，CB=，

∴PQ∥（l）（填推理的依据）。

【分析】（1）根据题目要求作出图（包含作一条线段等于已知线段）。

（2）利用三角形中位线定理证明即可。

解：（1）补全的图形如图3所示：

（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，

∴PQ∥（l三角形中位线定理）。

【点评】本题考查作图、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是能按照要求作出图形，并能灵活运用所学知识解决问题。

例2（2018·江苏南京）如图4，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE。若BC=10cm，则DE=cm。

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，从而得出答案。

解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，

∴D为AB的中点，E为AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=12BC=5。

故答案为5。

例3（2019·江苏宿迁）在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）如图5，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F。求证：∠1=∠2。

（2）在图6中作⊙M，使它满足以下条件：

1圆心在边AB上;2经过点B;3与边AC相切。（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

【分析】（1）连接OF，可证得OF∥BC，结合平行线的性质和圆的性质可求得∠1=∠OFB=∠2，可得出结论。

（2）由（1）可知切点是∠ABC的角平分線和AC的交点，圆心在BF的垂直平分线上，由此即可作出⊙M。

（1）证明：如图7，连接OF。

∵AC是⊙O的切线，∴OF⊥AC，

∵∠C=90°，∴OF∥BC，

∴∠1=∠OFB，

∵OF=OB，

∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2。

（2）如图8所示⊙M为所求。作法如下：

1作∠ABC的平分线交AC于点F;

2作BF的垂直平分线交AB于M，以M为圆心，MB为半径作圆，⊙M即为所求。

证明：∵M在BF的垂直平分线上，∴MF=MB，∴∠MBF=∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF=∠CBF，∴∠CBF=∠MFB，∴MF∥BC，

∵∠C=90°，∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切。

【点评】本题主要考查圆和切线的性质、基本作图的综合应用。掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键。

例4（2018·湖北宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）。

【分析】掌握过直线外一点向直线作垂线的方法即可。

解：已知，直线AB和AB外一点C，如图9。求作：AB的垂线，使它经过点C。

作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁;

（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E;

（3）分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F;（4）作直线CF。

直线CF就是所求的垂线。故选B。

【点评】此题主要考查了过直线外一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法及原理是解决问题的关键。

（作者单位：江苏省南京市鼓楼实验中学）