新冠疫情后大型体育赛事重启评估建模研究

盛华芳

南方医科大学珠江医院 检验医学部，广州 510280

1 引言

随着国内新冠疫情逐渐好转，各行业正处于逐步返岗复工阶段，重启大型体育赛事也将是十分紧迫而必要的大事。如何结合国内疫情现状，对重启各大体育赛事的时间表进行评估，将是传染病预防控制与决策部门高度关注的核心问题。

大型体育赛事重启评估问题主要涉及对评价指标及分级、疫情走势预测、室内疾病传播评估等。对此，科学界和社会各界开展了大量研究[1-9]，具有一定的参考价值。（1）评价指标及分级方面，基本再生数作为流行病动力学中最重要的指标，被广泛应用于疫情分析。王霞等[10]通过计算基本再生数分析了武汉及周边疫情严重的地区复工的时间节点。王茜等[11]利用基于SIRS模型计算基本再生数，分析了疾病稳定性。（2）疫情走势预测方面，当前无症状感染者的分布很大程度上反映了国内新冠疫情的态势，对其预测显得尤为重要。国家卫健委组织每天发布疫情信息，这些数据为新冠肺炎的建模和分析提供了良好的基础[12]。林俊锋[13]在传统SEIR 模型基础上，引入“隐形传播者”的概念，提升了新冠疫情传播的预测效果。李星君等[14]用Guassian 模型对新冠疫情的走势预测取得较好的效果，拐点取得较高。（3）室内疾病传播评估方面，需要结合大型体育赛事特点和疾病分析的关键指标，有针对性地分析评估。杨俊元等[15]利用数据结合模型，提出了一种基于SEIAR的新冠肺炎传播的基本再生数的计算方法，适合于城市等地区的疫情态势评估。Chen S C等[16]采用Wells-Riley模型求解室内空气传播疾病的概率和有效再生数，能很好地反映出体育场馆的疾病传播情况。

基于上述认识，本文提出了一种基于有效再生数的大型体育赛事重启评估的方法。将疾病传播有效再生数Rt作为衡量体育赛事重启安全评估的关键系数，并进行安全分级。对比分析引入无症状感染者的SEIAR模型和改进后的引入戴口罩的Wells-Riley模型，采用前者对地区的疫情进行初步评估，采用后者对体育赛事场馆的疾病传播性进行评估。采用Gaussian 模型对全国无症状感染者走势进行拟合和预测，确定不同时间节点的q值（quanta 产生率），并对6 类大型体育赛事进行综合动态分析评估，估计出赛事重启的时间表。最后，评估模型，提出了体育赛事重启过程的疫情控制的建议，如图1所示。

2 评估指标和标准

2.1 有效再生数Rt

基本再生数R0（Basic Reproduction Number）是流行病动力学中最重要的参数，它能够刻画传染病的内在传播能力，用于公共卫生政策分析、国内外疫情评估、疾病传播拐点预测等[17-19]。它是指疾病没有干预时，在易感人群的环境中一个患者平均传染的人数。

在有外部干预措施的条件下，一个患者平均能感染的人数叫作有效再生数Rt（Effective Reproduction Number）。有效再生数Rt的内涵和基本再生数R0相同，区别在于描述疾病传播的不同阶段。

随着防疫措施的介入，新冠肺炎有效再生数Rt的值是动态变化的，其中一个重要分界点是1。（1）当Rt＜1 时，表示新冠肺炎将逐渐消失；（2）当Rt＞1 时，表示新冠肺炎将以指数形式快速传播；（3）当Rt=1 时，表示新冠肺炎将达到一种平衡，作为地方性疾病而始终存在。

研究新冠疫情有效再生数指标值Rt具有重要意义，它不仅可以反映外部干预措施的有效性和判断新冠疫情的走势，也可作为新冠肺炎风险管理政策的有力参考。因此，可用新冠疫情有效再生数指标值Rt作为大型体育赛事现场疾病防控安全分级的指标。

2.2 安全分级

目前全国各地陆续下发通知，调整新冠肺炎疫情的应急响应级别[20]，进一步推动了开展体育赛事活动恢复开放，推动了体育行业全面复工复产。国家体育总局于5 月29 日发布《关于有序恢复体育赛事活动的指导意见》[21]，要求采取预约、限流等方式，有序开放各类运动场所，并指出“在充分考虑举办地疫情防控形势和要求，综合研判赛事必要性和举办风险，制定严格疫情防控工作方案及突发事件预案前提下，审慎有序举办非身体接触类全国性单项体育赛事活动。”中国高尔夫球协会在6 月2 日发布了恢复全国性赛事的通知，称拟于6 月15 日起审慎、安全、有序恢复全国性的高尔夫球赛事和活动[22]。这是自新冠疫情防控以来，国内首个由单项体育协会组织官方发布的行业复赛通知。高尔夫之所以具备复赛的基本条件，在于这是一项在户外举行的非身体接触类体育运动，被普遍视为低风险项目。

由此可知，衡量体育赛事重启的因素主要有三个：应急响应级别、防疫措施以及体育自身的特点。这三个因素也可作为大型体育赛事重启的安全级别划分的依据。国家突发公共卫生事件应急响应级别共有四级。防疫措施主要有控制人流和戴口罩等防护措施。体育赛事自身的特点主要在于是否室外、是否身体接触等。

因此，将大型体育赛事现场疾病防控安全级别分为五级，分别是具备办赛基本条件、无观众赛事、部分观众赛事、全部观众但要求戴口罩赛事、全面放开赛事，见表1。可知，颜色越深，代表安全级别越高，风险越低。

3 有效再生数Rt 的求解模型

3.1 引入无症状感染者的SEIAR模型

在传统的SEIR模型中，S、E、I和R分别代表易感人群、潜伏人群、确诊人群和康复人群。随着新冠肺炎疫情的不断发展，发现有很多无症状感染者。因此，引入无症状感染者(A) 可以更好地刻画病毒的传播情况。引入无症状感染者的SEIAR模型如图2所示。

图2 SEIAR疾病传播模型

列出微分方程组：

其中，λ1、λ2分别表示确诊人群和无症状感染者传染易感人群的速率，p1、p2分别表示潜伏个体转化为确诊病人和无症状感染者的比例，γ1、γ2分别表示确诊人群和无症状个体康复的概率。可知有效再生数的表达式为：

根据推导[23]，Rt的求解方法：假设初始时I(0)=E(0)=A(0)=0，确诊人数峰值I(T)和累计出院数R(T)，则Rt是如下隐式方程的解：

其中：

式中，α为总人数N中易感人群所占的比例，S(T)、E(T)、I(T)、A(T)和R(T)分别为峰值T时刻易感人群、潜伏人群、确诊人群、无症状者和康复人群的数量。

3.2 引入戴口罩的Wells-Riley模型

（1）Wells-Riley模型

Wells-Riley 数学模型能够定量分析室内空气传播传染病的可能风险，广泛应用于评估公共卫生措施对室内空气传播感染的影响，因此，也可用于大型体育场馆中疾病传染的风险评估。Wells-Riley模型为：

其中，P为观众感染的概率，D为在场馆被感染的观众数量，S为全体观众，I为无症状感染者的数量，p为人均呼吸速率，t为比赛持续时间，V是体育场馆的体积。Q为室外空气供应速率，它可表示为室内呼气量f、通风空间中的人n和人均呼吸速率p的函数，即Q=np/f。

q为感染者的quanta产生率。quanta是指使一个人达到致病量的最少病原体的数目，吸入一个quanta量的正常人受到感染的概率服从Poisson 分布，即通过空气感染传染病的概率为63.2%。

Wells-Riley 模型基于以下假设：（1）场馆内任何一处被感染的概率相等。（2）无症状感染者呼出的quanta产生率（q值）、感染者的数量、通风量等在整个感染时间内是稳定的。（3）忽略新冠肺炎病毒在被通风带出体育场馆前的死亡率。Wells-Riley 模型成功地预测了美国一所郊区小学的麻疹爆发情况。该方程及其改进方程也被广泛用来预测各个空气传染疾病的爆发情况。

（2）改进后的引入戴口罩的Wells-Riley模型

对Wells-Riley模型进行改进，考虑到戴口罩能够有效降低疾病传播概率，增加戴口罩的影响因子，建立引入戴口罩的Wells-Riley模型，使预测的感染概率更加符合体育赛事实际情况。在考虑了戴口罩的作用后，将Wells-Riley模型发展为：

其中，θ为口罩的渗透系数，θ取值范围为 0 到1 之间，默认为不戴口罩，θ为1。

由式（6）可知，病毒感染概率是由空间内的无症状感染者人数、q值（疾病的quanta产生率）、呼吸速率、暴露时间、室外空气供应速率等要素决定的。考虑I=1和S=n-1，将Q=np/f代入式（6），得出比赛场馆中空气传播感染有效再生数，表示为：

表1 大型体育赛事现场疾病防控安全分级

3.3 两个模型的比较分析

3.3.1 引入无症状感染者的SEIAR模型参数估计

对引入无症状感染者的SEIAR 模型的参数进行估计。目前全国范围的总体情况是：新冠肺炎的潜伏期一般为7天，治疗时间平均为10天，故p1+p2=1/7，γ1=1/10；确诊病人立即被隔离；无症状感染者与易感人群接触的机会较多，但传染易感人群的概率目前未确知。由此，对其他参数估计见表2。

表2 SEIAR模型参数估计

将上述参数代入式（2）得全国范围的有效再生数Rt为0.42，说明全国范围新冠疫情趋于减弱，疫情防控较好。

选取内蒙古、湖北两个省份，与全国为基准，进行疫情对比分析。内蒙古受境外疫情引入影响，确认人群感染易感人群的概率大大提高，湖北省经过严格的封城措施后，确认人数收治较好，采取大规模核酸检测，发现一部分无症状感染者。估计相关参数并计算有效再生数，见表3。内蒙古的有效再生数为1.80，高于1，疫情有蔓延风险；湖北的有效再生数为0.40，略低于全国，疫情趋于减弱。

表3 SEIAR模型参数估计

3.3.2 引入戴口罩的Wells-Riley模型参数估计

引入戴口罩的Wells-Riley 模型中除了q值（quanta产生率）外，其他参数均为比赛场馆的物理特性参数。

根据推算[16]，麻疹、流感、SARS 的q值分别为124.89 quanta/h、68.67 quanta/h、28.94 quanta/h。新冠肺炎的传染性超过流感和SARS，由此估计，新冠肺炎的q值约为90 quanta/h。

不同疾病和不同的感染者所产生的quanta 值是不同的。当感染者所呼出的病原体特别多、quanta值特别大时，感染者容易感染他人，从而引起疾病爆发，这样的感染者被称为超级传播者（supper spreader）。对于体育赛事评估而言，对q值的估计主要与无症状感染者的分布情况有关。不妨假设q值与无症状感染者(A)人数呈线性关系(q=0.16A+36)。因此，只要对无症状感染者进行预测，就能估算出q值。

3.3.3 分析结果

引入无症状感染者的SEIAR 模型可以较好地从宏观上描述整个地区的疾病相关的各类人群的走势。其计算所得的有效再生数对于从全局了解和掌握疫情发展很有帮助。引入戴口罩的Wells-Riley 模型可针对不同场所计算其疫情传染的概率和有效再生数，适用于各类体育场馆的疫情传播分析。加入戴口罩这一分析因子，更加贴合评估需求。因此，可综合采用上述两种模型分析体育赛事重启问题。采用SEIAR 模型进行初步分析，计算所在地区的有效再生数；在地区Rt小于1的前提下，再运用引入戴口罩的Wells-Riley计算各类体育场馆的有效再生数，并结合安全分级对各类体育赛事重启问题进行评估。引入无症状感染者的SEIAR 模型对地区疫情的初步评估方法已经在本节详细给出。后续章节将重点采用引入戴口罩的Wells-Riley 对大型体育赛事重启问题进行分析。

4 无症状感染者预测与q 值确定

当前，国内疫情已经稳定，正逐步减弱。无症状感染者的分布情况很大程度上反映了国内疫情的总体态势。全国无症状感染者人数统计情况从3 月31 日开始公布，截至 5 月 31 日，利用 Matlab 的 cftool 工具，采用Gaussian（高斯）、Linear Fitting（线性拟合）、Exponential（指数）、Polynomia（l多项式）对全国的无症状感染者的走势进行拟合分析和解释性预测，见图3。

表4 给出了四个模型的拟合效果，可知Gaussian 的拟合效果较好，误差最小，满足本题解释性预测的需要。采用Gaussian模型对无症状感染者的走势进行预测，以6 月1 日的无症状感染者人数为参考点，记为a（值为371），计算a/2、a/4、a/8 出现的大致时间节点，并估算出不同时间节点的q值，作为体育赛事重启的时间点的输入，见表5。

5 体育赛事重启评估分析

5.1 体育赛事基本信息

从热度、商业价值与影响力等方面综合考虑，选取国内六大热门体育赛事。通过参数估计获取体育赛事正常观赛的相关数据，主要包括赛事观看人数、场馆大小、比赛持续时间、观众呼吸速率，见表6。

图3 无症状感染人数实际值和预测值

表4 四个模型拟合结果分析

以第1 时间节点（6 月1 日）为例，将对应的q值和六大体育赛事的基本信息代入式（6）和式（7），可得在正常情况下体育赛事的新冠肺炎感染概率和有效再生数，见表7。可知，在1 时间节点，只有LPL 电竞的Rt小于1，安全级别为0，达到开赛的基本条件；其他体育赛事的Rt均大于1，有疾病传染风险，暂不能考虑开赛。

表5 无症状感染者走势时间表

表6 中国六大热门体育赛事的基本信息

表7 体育赛事的新冠肺炎感染概率和Rt

5.2 综合评估

由式（7）可知，观赛人数和是否戴口罩这两个参数是赛事综合评估的两个变量，有效再生数Rt随之动态变化。正常情况下观赛人数是n，从成本和安全综合考虑可调整为n/2、n/4；是否戴口罩直接影响飞沫中呼出的病毒量，这里主要通过口罩的渗透系数θ来体现，正常情况下不戴口罩，θ=1；戴口罩时，θ=1/4。

在第1 时间节点，六大体育赛事的有效再生数Rt动态变化情况如图4所示。可知，在减少观众和采取戴口罩的措施后，六大体育赛事的Rt均逐渐变小，并在一定条件下可达到小于0.8，达到了开赛条件。

如图5 所示，按照安全分级，画出Rt的等高线，实心红点代表可选方案，点（0.5，0.25）代表观众人数为n/2、戴口罩的情况。由图可知，戴口罩的情况下，六大体育赛事的有效再生数Rt均大幅下降；其中CBA篮球联赛的有效再生数Rt小于1，安全级别为0，达到办赛的基本条件；其他体育赛事的有效再生数Rt小于0.8；LPL电竞比赛是最早具备开赛条件的大型体育赛事，其有效再生数Rt最小，小于0.4，安全级别为3，可安排全部观众戴口罩观赛。

图4 有效再生数的动态变化图

图5 第1时间节点有效再生数等高线

用同样的方法对其他三个时间节点的六大体育赛事的有效再生数Rt进行综合分析，确定什么时候开赛，以何种条件开赛，从而为制定大型体育赛事的时间表提供参考依据。表8 给出了六大体育赛事的时间表和开赛条件，用颜色标识安全级别，颜色越深，安全级别越高，疾病传播的风险越低。根据评估，LPL 电竞是最早全面放开比赛的体育赛事，时间大概在7 月初；网球公开赛、排球联赛和羽毛球公开赛，在7 月中旬全面开放比赛；中超联赛和CBA估计在7月中旬可安排全部观众戴口罩观赛，全面放开的时间需延后一段时间。

5.3 结果分析和建议

评估可知：LPL电竞是最早全面放开比赛的体育赛事，这与电竞比赛持续时间相对较短、观众情绪阶段性出现、观众密集程度相对较低的特点相符；网球公开赛、排球联赛和羽毛球公开赛的有效再生数的动态变化具有相似性，安全级别调整和全面开放的时间同步，这与网球场馆半开放、排球和羽毛球观赛人数相对较少的事实吻合；足球和CBA具备开赛条件较晚，全面开赛还需要延后，这与足球和篮球比赛中观众情绪高涨、观赛人数多、场地容易出现近距离接触的情况相符。

表8 体育赛事时间表和开赛条件

由有效再生数的等高线走势可知，在限制观众人数和是否戴口罩两个要素中，戴口罩对降低有效再生数明显更为敏感，说明戴口罩在防疫措施中发挥作用明显。

结合评估，给出如下建议：

（1）优先重启比赛时间相对较短、观众人数参与比较少、场馆空间开阔或半室外的赛事，这样可以有效降低观众的疾病感染率。在条件具备时，优先重启电子竞技和网球比赛，而后是排球比赛，最后是足球和篮球比赛。

（2）在赛事运营管理方面采取逐步放开策略。从安全和成本综合考虑，比赛的观众人数应不超过正常情况下的1/2，待疫情进一步稳定好转后再逐步恢复正常。

（3）根据评估，戴口罩能很大程度上降低有效再生数，因此，开赛初期观众应做好安全防护，戴口罩观看比赛。

6 结语

本文提出了一种基于有效再生数的大型体育赛事重启评估的方法。将疾病传播有效再生数Rt作为衡量体育赛事重启安全评估的关键系数，在Rt＜1 的前提下，将安全状况分为5 个级别。对比分析引入无症状感染者的SEIAR 模型和改进后的引入戴口罩的Wells-Riley 模型，采用前者对全国、湖北、内蒙古地区的疫情进行初步评估，采用后者对体育赛事场馆的疾病传播性进行评估。通过选优运用Gaussian 模型对全国无症状感染者走势进行拟合和预测，确定不同时间节点的q值（quanta 产生率），并对6 类大型体育赛事进行综合动态分析评估，估计出赛事重启的时间表。最后，对模型进行评估，提出了关于体育赛事重启过程的防疫建议。

研究的可取之处主要有：

（1）将疾病传播有效再生数Rt作为衡量体育赛事重启安全评估的关键系数，有一定的可信度和合理性。

（2）引入戴口罩的Wells-Riley空气传播疾病感染概率预测模型，能够有效提取各类体育赛事相关参数，计算所得的有效再生数具有较高的准确性和区分度，从而为体育赛事重启评估提供了一种新的方法。用二维和三维可视化手段分析对两个因素综合影响下有效再生数，使评估更加直观。

（3）模型对于分析其他密闭空间内的公共活动，如电影院的开放问题等，具有普遍适用性。

引入戴口罩的Wells-Riley 模型重点分析的指标主要是观众人数和是否戴口罩，还可以通过考虑更多的因素进行改进和优化，如消毒措施、场馆的通风特性、体温检测等。这些因素与模型中变量存在线性或非线性的强相关性，需要进一步深入分析。

（1）对体育场馆进行全面消毒，可以减少病原体的数量，降低q值；改善通风特性，可以保持空气流通，阻止病原体集聚，同样可以降低q值；加入体温检测的管理因素，可以强化识别潜在病患的能力，降低I值，从而降低感染概率和有效再生数。

（2）模型对q值的正确性依赖较高。随着新冠疫情发展，相关特性将愈发明朗，新冠肺炎的q值估算也将更加准确。

（3）模型的研究建立在一系列的假设前提下，如国内新冠疫情不会第二次爆发、比赛现场秩序可控等，同时没有考虑往返赛场期间人员流动中疾病传染风险。为此，可借助基于多Agent的复杂网络等其他建模手段进行辅助分析。