无虚拟控制律的高超声速飞行器新型模糊控制

李广剑 何广军 吴亚晖 李兴格

1.空军工程大学防空反导学院，西安 7100512.空军预警学院雷达士官学校，武汉 430345

0 引言

吸气式高超声速飞行器(AHV)是一类在临近空间以吸气式超燃冲压发动机为动力，飞行速度超过5Ma的飞行器。由于飞行速度快、航程距离远、突防能力强，高超声速飞行器成为军用国防领域的研究热点。与其他的飞行器相比，高超声速飞行器具有更复杂的耦合问题、弹性振动问题以及不确定性。为了提高高超声速飞行器控制系统的整体性能，国内外研究人员均展开了许多研究。

近年来，关于高超声速飞行器控制的研究取得了许多成果。例如，输入受限控制[1-3]，滑模变结构控制[4-7]，神经网络控制[8-10]，以及预设性能控制[11-12]等。文献[13]提出在AHV中应用反演方法对于系统的扰动和不确定性项目进行逼近，但没有考虑弹性体形变的影响，且选择的模糊函数比较繁琐。文献[14]在再入飞行器中基于动态面，引入非零和博弈理论设计模糊自适应控制器，取得了一定进展。文献[15]提出了基于ESO的模糊自适应控制器，采用Nussbaum增益技术减少学习量，但是依然没有摆脱模型限制。胡超芳[16]等提出了模糊自适应的AHV容错控制，控制律设计过程以及控制律的形式相对复杂。文献[17]采用预设性能神经网络控制器，但是预设性能控制缺少严格统一的稳定性分析方法，并且在应用中会用到猜测量，在实际控制中猜测量一般难以获取。

基于以上研究，提出了一种无虚拟控制律的高超声速飞行器新型模糊控制方法。与反演控制相比，对于高度与速度子系统，每个系统只有一个模糊函数逼近器逼近总未知项，减少了传统反演控制中的过度模型依赖，也提高了系统的鲁棒性能。基于范数估计策略设计模糊函数，减少了在线学习参数，保证了系统实时性。最后基于仿真，验证了控制方法的有效性能。

1 模糊系统理论预备

模糊控制的本质，是将模糊规则和逻辑融入到控制器中。在按照一定模糊规则设计的情况下，模糊系统能以任意精度逼近给定的非线性连续函数[18-19]。与神经网络和多项式函数逼近相比，模糊函数的优势在于能根据模糊逻辑进行有效的控制。

引理1[18]对于任意给定的实函数F(X)在紧集Ω上，一定存在一个模糊系统，使得

|F(X)-y|<μ

(1)

其中，μ>0，y为模糊系统的输出变量，F(X)为非线性实函数。

根据模糊集的工作机理，假设X为模糊系统的输入变量。首先将清晰点X映射到模糊集A上；然后根据模糊机理推理，把模糊集A映射到模糊集B上，最后把模糊集B解模糊化，得到清晰的输出y，实现从U到V的映射。则模糊系统可以表示为

y=θTξ(X)

(2)

式(2)中，输入向量X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn，模糊系统权系数参数向量θ=[θ1,θ2,…,θp]T∈Rp，ξ(X)=[ξ1(X),ξ2(X),…,ξp(X)]T∈Rp为模糊基函数，模糊基函数表示为

(3)

2 模型建立

先前学者们大多采用美国空军实验室提出的Paker模型[20]。模型忽略了系统的一些弱耦合因素和慢动态项，建立的面向控制的模型如下所示

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

图1 AHV模型几何构型

其中，AHV的飞行速度和高度分别表示为V和h；飞行航迹角为γ；飞行俯仰角以及俯仰角速率为θ和Q；飞行器离地心的距离为r；m为AHV的质量；俯仰转动惯量用Iyy表示；定义飞行攻角为α=θ-γ。在AHV的弹性状态中，η1和η2分别为AHV的弹性状态，ζ1和ζ2为弹性状态阻尼；ω1和ω2为弹性状态的振动频率；N1和N2为广义弹性力；

φf(·)和φa(·)为振型函数[20]。

对于AHV所受的升力L、推力T、阻力D、俯仰力矩M以及广义弹性力N1和N2的具体大小，可以通过拟合式进行表示：

3 控制律设计

3.1 高度控制律设计

在AHV高度子系统的设计中，其控制目标是通过选取合适的反馈控制输入δe实现对于参考高度href的稳定跟踪。

首先将高度子系统写成严格反馈的形式，并且使用一个模糊逼近器对其进行在线逼近。

高度子系统的严格反馈形式为

(9)

式中，

两式均为未知的连续非线性函数。

此时，高度子系统的控制目标便为选取合适的反馈控制输入δe使得γ→γd。

设计航迹角的参考输入为

(10)

其中，kh1∈R和kh2∈R分别为待设计参数，且为正值。

定义航迹角的跟踪误差及其一阶导数为

(11)

(12)

设计过渡变量θd，θd可以表示为

(13)

其中，kγ1∈R和kγ2∈R分别为待设计参数，且为正值。

定义俯仰角的跟踪误差为

(14)

将式(13)代入式(14)可以得到

(15)

求式(15)时间的一阶导数，并代入式(9)得

(16)

将式(12)代入上式(16)可以得到

(17)

设计过渡变量Qd，Qd可以表示为

其中，kθ∈R为待设计参数，且为正值。

定义俯仰角速度的跟踪误差为

(19)

将式(18)代入式(19)中可以得到

(20)

将式(9)、式(12)和式(16)分别代入式(20)，并求时间的一阶导数，可以得到

整理后可以得到式(21)

(21)

(22)

其中，kQ∈R为待设计参数，且为正值。

将式(15)代入到式(20)中可以继续得到

(23)

将式(23)代入式(22)可以得到

(24)

(25)

(26)

(27)

式中，λ1∈R为待设计参数，且为正值。

3.2 速度控制律设计

在速度子系统中，其控制目标是通过选取合适的反馈控制输入Φ实现对于参考速度Vref的稳定跟踪。

将AHV速度子系统式(4)改写为式(28)

(28)

式中，FV=[Tcos(θ-γ)-D]/m-gsinγ-Φ为未知的非线性连续函数。

定义速度的跟踪误差为

(29)

求式(29)时间的一阶导数，将式(28)代入得

(30)

因FV未知，利用模糊系统进行逼近，即

(31)

设计速度控制律为

(32)

其中，kV1∈R与kV2∈R为待设参数，取正值。

(33)

其中，λ2∈R为待设计参数，且为正值。

整个控制律的设计过程以及控制系统结构如图2所示。

注2 文献[22]引入了虚拟控制量设计控制律，效果良好但求取虚拟控制量的一阶导数比较繁琐。本文采用反演控制方法，实际控制律只需一个模糊逼近函数求取，相比之下算法更简洁。

注3 本文基于范数估计思想，不是对模糊函数中的权值元素进行调整，而是采用调整权值范数的方法，降低了控制方法的计算量。

图2 AHV模型控制结构图

4 稳定性分析

4.1 高度子系统稳定性分析

定理1 如果AHV闭环高度子系统满足式(9)，控制律满足式(26)，自适应律采用式(27)，则高度子系统控制系统局部渐近一致稳定。

证明 将式(13)和式(14)代入式(12)中可以得到

(34)

将式(18)和(19)代入式(17)中可以得到

(35)

应用式(24)与(25)可以变式(26)为

(36)

将式(22)代入上式(36)中，可以得到

(37)

将上式(37)代入式(21)可得

(38)

定义φ1的估计误差为

(39)

选取Lyapunov函数为

(40)

对式(40)求时间的一阶导数，并将式(21)、式(34)、式(35)和式(39)代入可以得到

(41)

考虑到有

(42)

(43)

又因为

则式(41)可以转化为

(44)

(45)

(46)

定义如下紧集

4.2 速度子系统稳定性分析

定理2 如果AHV闭环速度子系统满足式(13)，控制律满足式(38)，自适应律采用式(37)，则速度子系统控制系统局部渐近一致稳定。

证明 证明与定理1类似，此处略。

5 仿真验证

以飞行器纵向运动模型为系统的被控对象，对参考速度和参考高度进行跟踪仿真，用四阶龙哥库塔法进行求解，仿真步长设定为0.001s。飞行器的初始运动速度为2500m/s，运动高度为h=27000m，其中速度阶跃为ΔV=100m/s，高度阶跃为Δh=700m，控制器参数选择为：kV1=1.5，kV2=1，kγ1=8，kγ2=0.01，kθ=8，kQ=8，λ1=0.05，λ2=0.05。速度和高度的参考输入的阻尼比为0.9，自然频率为0.1rad/s。模糊系统中，隶属度函数选高斯基函数，设置每个变量的模糊集合为100个。速度子系统中输入变量V的每个模糊集合的模糊中心iV在[2500,2800]内均匀分布，高度子系统中输入变量

V、γ、θ和Q的每个模糊集合的模糊中心iV、iγ、iθ和iQ分别在[2500,2800]、[-1.1°,1.1°]、[0°,11.5°]和[-5.7°/s,5.7°/s]的区间内均匀分布。上述变量的隶属度函数如表1所示，在下列情型下进行仿真。

表1 各个变量的隶属度函数

情形：假设AHV模型的气动系数存在±40%的摄动量，在运行时间超过50s之后加入摄动量为C=C0[1+0.4sin(0.1πt)]，其中C0表示气动系数的标称值。采用本文的方法(方法1)和文献[22]中提及的方法(方法2)进行对比仿真。

分别采用本文的方法和文献[22]中提及的方法进行对比仿真。

图3 情形1的对比仿真结果

从图3的对比仿真中可以看出，本文提出的方法与文献[22]中提出的方法在存在参数摄动时，AHV在输入连续阶跃指令时都能实现对于高度h与速度V的稳定跟踪(见图3(a)～ (d))，并且本文方法的跟踪精度与抗干扰能力明显优于文献[22]中的方法，具有很强的鲁棒性。从图3(e)～(h)中可以看出，本文方法对于输入控制和飞行器的姿态角度的控制都处于合理范围，且比较平滑，有效防止了高频抖振现象的产生。从图3(i)和(j)中可以看出，采用本文方法时，AHV的弹性状态也比较平滑，没有产生高频抖振现象，弹性状态在合理范围内。图3(k)和(i)反映了新型模糊控制下，对于φ1和φ2的估计效果。综上可以看出，本文提出的新型模糊控制方法具有一定的优势。

6 结论

提出了一种无需虚拟控制律的新型模糊控制方法，可实现对于AHV高度指令和速度指令的稳定鲁棒跟踪。与传统鲁棒反演控制方法相比，控制输入和飞行器姿态角度都处于合理范围且比较平滑，减少了高频抖振现象。模糊控制中，AHV的每个子系统仅需一个模糊逼近器对实际控制律进行逼近，无需对虚拟控制律以及其一阶导数进行反复计算求取，大大减少了系统的在线参数学习，保证了算法的实时性能，同时基于Lyapunov稳定性理论，证明了控制系统稳定性，保证了AHV闭环系统局部一致渐近稳定。