TIADC中采样时间失配误差的反馈式校准技术

甘凌浩, 邓红辉, 陈红梅, 孟 煦, 闫 辉, 尹勇生

(1.合肥工业大学 微电子设计研究所,安徽 合肥 230601; 2.合肥工业大学 教育部IC网上合作研究中心,安徽 合肥 230601)

现代通信系统(如宽频卫星接收器、有线电视调谐器和软件无线电)均需要高速、高精度和低功耗的模数转换器(analog-to-digtial converter,ADC),时间交织(time-interleaved, TI)结构作为一种有效解决方案成为当前的研究热点[1]。时间交织ADC的结构图和时序图如图1所示,它通过使用M个子ADC通道并行操作,以一种节约功耗的方式提升了整体的转换速度[2]。然而,由于工艺偏差,通道之间的失调、增益和采样时间失配误差降低了ADC的性能,因此有必要对此进行校准[3]。相比于可以通过统计求平均来校准的失调和增益误差,采样时间误差产生的误差与输入信号相关,这增加了校准的复杂度。特别是输入高频信号时,采样时间误差的影响很大,由于时间交织结构主要应用于高速环境,因此,采样时间误差的校准已成为时间交织结构中的主要问题[4-5]。

图1 时间交织ADC的结构图和时序图

近年来,已有多篇文献对于时间交织模数转换器(time-interleaved analog-to-digital converter, TIADC)采样时间失配误差提出了不同的校准方法和结构。按照校准操作是否能与ADC正常转换并行执行可划分为前台校准技术和后台校准技术,按照校准执行的信号域不同可划分为模拟校准、数模混合校准和全数字校准[6]。因为前台校准无法与ADC的正常转换并行执行,而模拟域的电路易受工艺、温度、电压等因素影响,其应用范围受到限制,所以全数字后台校准技术成为目前的研究重点。

对于TIADC中采样时间失配误差的全数字后台校准技术,其可划分为由误差提取和误差补偿所构成的反馈式和前馈式2种校准结构[7]。对于这2种结构而言,误差补偿的手段种类较少,主要有插值法(多为泰勒)和滤波器等[8]。而误差提取的手段则多有不同,主要原理为基于过零/极值点检测[9]、通道相关[10-12]、参考通道[13]和劈分结构[14-15]等。反馈式结构中对于采样时间误差的提取采用LMS迭代,需要形成一个反馈环路。前馈式结构中无需反馈环路,而是直接提取出采样时间误差。大多数情况下反馈式结构能够获得更好的精度且复杂度更低,而前馈式结构的速度更快。

本文提出了反馈式校准结构中通过最小均方(least mean square,LMS)迭代提取采样时间误差的通用方法,并据此推导提出了一种基于互相关原理的反馈式校准结构,该结构适用于任意通道数,且能完成过奈奎斯特频域的宽带宽单频输入信号的校准。

1 LMS自适应迭代的误差提取

TIADC采样时间误差的反馈式校准结构如图2所示,其误差提取通过LMS迭代实现,采样时间误差Δt的迭代过程如下:

Δtn+1=Δtn+μsgn(Δt)|R(Δt)|

(1)

其中,μ为迭代步长;sgn(Δt)为Δt的符号,即实际采样点超前或滞后于理想采样点,也决定了迭代的方向;R(Δt)为与Δt相关的函数,且在朝正确的方向迭代和补偿采样时间误差时,补偿后的信号中|R(Δt)|逐渐减小且最终趋于0。当R(Δt)和sgn(Δt)关系明确时,可将其合并为一项。随着沿sgn(Δt)方向的不断迭代,Δtn+1愈发趋近于实际采样时间误差值,补偿后的信号中采样时间误差越来越小,|R(Δt)|愈发趋于0,Δt的迭代变化愈发缓慢且最终达到一个稳定值。

此外,若迭代步长μ越小,则迭代速度越慢,但最终结果的波动也越小;若迭代步长μ越大,则迭代速度越快,但最终结果的波动也越大,对此则有文献进行了兼顾速度与精度的有关变步长迭代的研究。

图2 反馈式误差校准结构

采样时间误差提取的原理主要可分为:① 基于比较的过零/极值点检测、参考通道、劈分结构等;② 基于通道相关的互相关和平均绝对求差等。以下根据(1)式对基于不同原理的LMS迭代提取误差进行分析。

1.1 基于比较的LMS自适应迭代

过零点检测校准[9]的原理为统计时间交织ADC中各子通道完成的零点穿越次数以判定采样时间误差Δt。yi-1[k]、yi[k]分别为第i-1通道和第i通道的第k次采样得到的数据,当yi-1[k]和yi[k]符号相反时,就定义为通道i完成了一次零点穿越。理想情况下,对于M通道TIADC,采样点y1[k],…,yi[k],yi+1[k],…,yM[k],y1[k+1](k=0,1,…,N,N应为一个较大值)之间的时间间隔是等间距的,因而各子通道完成的零点穿越次数Z也应相同。而各子通道的Δt破坏了该关系，即只考虑第i通道的采样时间误差Δti,若第i通道完成的零点穿越次数Z(i)大于所有通道零点穿越次数的平均值Z(Aver),则第i-1通道和第i通道之间的时间间隔大于平均时间间隔,即Δti符号为正,因而sgn(Δti)=sgn[Z(i)-Z(Aver)]。而在正确校准时,Z(i)和Z(Aver)的差值应趋于0,因而|R(Δti)|=|Z(i)-Z(Aver)|。对应(1)式,Δti可用迭代求得，即

(2)

将(2)式扩展应用于所有子通道,即可完成整体的校准。

参考通道校准[13]的原理为以参考通道为基准对子通道进行校准。对于M通道TIADC,增加一个额外的参考通道,该参考通道应与所有子通道均有相对应的采样点。因而子通道采样频率为fsub=fs/M时,参考通道采样频率多为fref=fs/(M+1)。对于采样时间误差为Δti的第i通道的采样点,可通过该点处导数的符号sgn(yi′),及该点处第i通道采样值yi和参考通道采样值yref的差值 Δy=yi-yref的符号sgn(Δy)判断Δti的符号，即sgn(Δti)=sgn(yi′)sgn(Δy)。而在正确校准时,Δy的值应趋于0,因而|R(Δti)|=|yi-yref|。对应(1)式,Δti可用迭代求得,即

(3)

将(3)式扩展应用于所有子通道,所有子通道均会以参考通道为基准进行校准。此外,(3)式中导数yi′通过相邻通道的采样值以三点求导法获得,在失调误差和采样时间误差的影响下通过三点法求得的sgn(yi′)不总是准确的,但文献[13]中对此统计发现正确的符号比率始终超过50%,因而不会影响宏观的迭代方向。

劈分校准的原理为通过不同劈分通道的对应采样值之差提取并补偿采样时间误差。文献[14]中劈分结构TIADC对于每个采样点总是有2个劈分通道采样,理想情况下其采样时刻和采样值均应相同,但实际中采样值产生了一个与输入信号和采样时间误差相关的偏差。因而可将对应采样点的差值作为与Δt相关的函数R(Δt)以驱动LMS迭代,而sgn(Δt)的判断通过列出相应方程组得出。文献[15]在此基础上提出劈分互质通道组,其可通过参考通道角度以(3)式的展开应用以迭代法提取误差。

1.2 基于通道相关的LMS自适应迭代误差

对于(1)式中LMS迭代提取采样时间误差通用特点的应用,上述几种基于比较的迭代均较为直观和明确。而基于通道相关原理提取采样时间误差目前主要有互相关和平均绝对求差2种[16],此时使用LMS迭代提取误差需要进行具体的分析和推导。

对于一个整体采样速率为fs的M通道TIADC,其各子通道采样速率均为fs/M。对于模拟输入信号x(t),第i通道(i=1,2,…,M)的第k次输出为yi[k],且yM+1[k]=y1[k+1],只考虑采样时间误差,yi[k]可以写为:

yi[k]=x[(kM+i)Ts+Δti]

(4)

其中,Ts=1/fs,为系统周期;Δti为第i通道的采样时间误差。定义输入信号x(t)的自相关函数S(τ)为:

(5)

则相邻的第i通道和第i+1通道输出乘积的期望ci为:

S(Ts+Δti+1-Δti)

(6)

其中,N应为一个较大值,根据一阶泰勒近似展开(6)式,可得:

(7)

其中,dS(Ts)/dτ为自相关函数S(τ)在Ts处的导数,类似推导可得相邻的第i-1通道和第i通道输出的量化值乘积的期望ci-1为:

(8)

则相邻的ci和ci-1的差值为:

(9)

对于(9)式只考虑第i通道的采样时间误差Δti,可得:

(10)

对(10)式左右两侧均取符号函数,可得:

(11)

此外,正确地迭代和补偿采样时间误差时Δti逐渐趋于0,因而(10)式中R(Δti)也会逐渐趋于0,将(10)式、(11)式代入(1)式，可得Δti的迭代过程为:

(12)

将(12)式应用于所有子通道并补偿采样时间误差时,最终所有子通道的Δt的迭代将达到一个动态的平衡,因而(9)式到(10)式的转换不会出现问题。

上述为基于互相关使用LMS迭代提取采样时间误差的推导。类似地,参照文献[10]中的相关推导,基于平均绝对求差的Δti的迭代过程应为:

(13)

其中,di为相邻的第i通道和第i+1通道(i=1,2,…,M)输出相减的绝对值的期望,即

(14)

(13)式和(14)式中dS(Ts)/dτ是相同的,S(τ)均为(5)式中x(t)的自相关函数。dS(Ts)/dτ可通过第i通道输出yi[k]和第i+1通道输出的导数yi+1′[k]的乘积的长期累加平均求得近似，即

(15)

根据文献[10]中的阐述,当输入奈奎斯特频域范围(0,fs/2)内的单频或多频信号时,dS(Ts)/dτ的符号值均为-1。因而此时(12)式、(13)式可以分别简化为(16)式、(17)式,即

(16)

(17)

2 过奈奎斯特频域单频信号的校准

一个完整的反馈式校准结构除了上述的误差提取部分还需误差补偿部分,此处采用(16)式中基于互相关的误差提取,以及基于泰勒展开公式的三阶泰勒补偿，即

(18)

其中,y[n]cal为校准后输出;y[n]为校准前输出;y(τ)[n]为该采样点处的τ阶导数；Δt为迭代得出的采样时间误差值。对于需要应用的导数y(τ)[n],此处求导选用结构简单、便于实现的三/五点求导法。三点求导法求一阶导数公式为:

(19)

此外,使用实际信号求得的导数值代替理想导数值导致了偏差,因而采用三阶级联泰勒补偿结构以获取更好的补偿效果,如图3所示。前一级完成低阶误差补偿后的结果输出到下一级中,用于重新构建待补偿的误差项,再从y[n]中减去重建的误差项。

图3 三阶级联泰勒补偿结构

2.1 单频信号应用三/五点求导法时的特性

当输入单频信号的频率为fin时,输入信号x(t)的表达式为:

x(t)=Gsin(ωt+φ)=Gsin(2πfint+φ)

(20)

其中,G为信号幅度;φ为初始相位。使用任意的频率为fs的时钟信号,对输入信号x(t)采样保持后,再通过ADC的输出为:

y[n]=Gsin(2πfinnTs+φ)=

Gsin(2πεn+φ)

(21)

其中,ε=fin/fs,为输入信号的归一化频率,需注意此时并不一定满足采样定理fs≥2fin,即ε取值范围限制仅为ε>0。以下通过该单频输入信号进行分析。

对于任意相邻点y[n]、y[n+1]、y[n+2],令α=2πεn+φ,θ=2πε,则有:

(22)

y[n+1]处的一阶理想导数值为:

y′[n+1]ideal=Gcos[2πε(n+1)+φ]2πε=

Gcos(α+θ)θ

(23)

将(22)式代入(19)式,根据三点求导法求得的y[n+1]处的实际一阶导数值为:

Gcos(α+θ)sinθ

(24)

则(24)式中y[n+1]处三点求导法求得的实际一阶导数值与(23)式中理想一阶导数值的比值为:

(25)

(25)式结果为只与归一化频率ε(ε>0)相关的定值,且由洛必达法则可知,当ε趋于0时,该值趋于1。此外,若一直使用三点求导法求τ阶导数,则求得的实际τ阶导数与理想值之比为:

(26)

五点求导法与三点求导法类似,当输入单频信号时,求得的实际导数与理想导数值之比为与输入信号归一化频率相关的定值。

2.2 过奈奎斯特频域单频信号的校准

误差补偿的(18)式中需要用到导数,而由(25)式可知,通过三点求导法实际求得的一阶导数值为理想导数值的(sin 2πε)/2πε倍。由于归一化频率ε>0,当ε处于(k,k+1/2)区间时(k=0,1,2,…),(sin 2πε)/2πε为正数,此时补偿方向正确;当ε处于(k+1/2,k+1)区间时,(sin 2πε)/2πε为负数,则会导致补偿方向发生错误。

此外,归一化频率ε对于误差提取中的迭代方向也会产生影响。对于(12)式而言,dS(Ts)/dτ的符号值决定了迭代方向,而其符号值的正负受ε取值范围控制。结合(15)式,以(20)式中的单频信号作为输入信号进行推导,即

(27)

(27)式通过单频信号应用三点求导法时的特性对x′(t+Ts)进行了一次转换。令α=2πfint+φ,θ=2πfinTs=2πε,则(27) 式中积分部分可以写为:

(28)

其中,θ为定值而α为变量;(cos 2α)/2、-[cos 2(α+θ)]/2在长期积分下其值均为0,因而(28)式最终值为-G2sin2θ,代入(27)式可得:

(29)

当θ≠kπ(k=0,1,2,…),即归一化频率ε≠k/2时,-G2sin2θ为一个负值,否则其值为0。

因此由(29)式可知,输入过奈奎斯特频域单频信号时,将dS(Ts)/dτ视为负数的(16)式中误差提取方向可能发生错误。当ε处于(k,k+1/2)区间时(k=0,1,2,…),dS(Ts)/dτ为负数,此时(16)式中误差提取方向正确;当ε处于(k+1/2,k+1)区间时,dS(Ts)/dτ为正数,导致(16)式中误差提取方向发生错误,与本应迭代的方向相反。

若误差提取和误差补偿方向同时错误,则由(18)式、(26)式可知两者的错误会抵消,使得整体校准能够正确地进行。因此应用基于互相关的(16)式提取误差,和使用三点求导法的三阶级联泰勒补偿结构时,在第1～第4奈奎斯特频域范围中,用“+”表示方向正确,“-”表示方向错误,则误差提取、误差补偿和整体校准在不同区间的方向正确与否见表1所列。

表1 误差提取、误差补偿和整体校准方向

从表1可以看出,误差提取和误差补偿方向的正误总是一致的,使得整体校准的方向总是正确的。而在其他奈奎斯特频域范围中也是如此,因此此时能够对过奈奎斯特频域的宽带宽单频输入信号进行校准。类似地,使用基于平均绝对求差的(17)式提取误差时也是如此。而使用五点求导法替代三点求导法时,推导过程与结果均一致。

需要注意的是,根据(29)式,单频输入信号的归一化频率必须满足ε≠k/2(k=0,1,2,…),否则会导致dS(Ts)/dτ=0而无法校准,且输入信号频率在这些频点附近时采样时间误差的迭代过程缓慢。

基于互相关的整体反馈式校准结构如图4所示,其对TIADC复合后输出进行处理,yi为第i通道的输出。使用硬件复用技术以降低复杂度,ycal,i即为校准后输出。

图4 整体的反馈式误差校准结构

3 仿真验证

基于MatlabSimulink平台，建立了一个对应于图4的4通道12-bit TIADC校准模型，以进行仿真和验证。整体采样速率fs=1 GS/s，设置各子通道采样时间误差为[Δt1, Δt2, Δt3, Δt4]=[-0.8%, 0.2%, 2.2%, 1.2%]Ts。当输入单频信号归一化频率fin/fs=0.474时，校准前后频谱图如图5所示。

图5 输入高频信号时校准前后的频谱图

从图5可以看出，校准后的输出有效位数(effective number of bits,ENOB)从4.64 bits提高到11.96 bits，信噪比(signal to noise ratio, SNR)、信噪失真比(signal to noise and distortion ratio, SNDR)和无杂散动态范围(spurious free dynamic range, SFDR)分别提升了44.15、44.07、66.79 dB，总谐波失真(total harmonic distortion, THD)提升3.32 dB。

此外,对于归一化频率fin/fs分别为0.05,0.15,…,1.95的单频输入信号,校准前后的有效位数如图6所示,可见所提出的结构对于过奈奎斯特频域单频信号校准的有效性。图6也反映了在无法校准的fin/fs=k/2(k=0,1,2,…)处附近,校准效果下降的问题。

图6 宽带宽单频输入信号校准前后有效位数

4 结 论

本文提出了反馈式全数字后台校准技术中通过LMS迭代提取TIADC采样时间误差的通用方法,并基于互相关原理设计了一种反馈式校准结构。该结构适用于过奈奎斯特频域的宽带宽单频输入信号,可用于任意通道数。对于过奈奎斯特频域单频信号的校准,本文进行了详细地推导和说明。