直观 分析 关系

郑水忠

【摘   要】范希尔夫妇提出的几何思维水平理论可以指导小学数学中的几何教学。“四边形的认识”是三年级教学的重要内容，通过前测和学情分析发现，学生识别四边形存在差异;对边的特征认识强于角的认识;给四边形分类存在较大困难。教学中，要以直观水平为教学切入点，要以分析水平为教学展开提供重要支撑，要以关系水平为认知提升的关键点。

【关键词】直观;分析;关系;几何思维水平;四边形

“四边形”一课是人教版三年级上册《长方形和正方形》单元第一课时的内容，教材通过组织学生识别四边形、概括四边形特征，进而认识特殊四边形“长方形和正方形”的特征，为后续周长等知识的学习奠定基础。此前，学生已在一年级下册《认识图形》单元初步认识了长方形、正方形、平行四边形三个特殊四边形，这种认识主要停留在直观水平层面。

在设计这节课教学之前，笔者有几点思考：（1）教材为何要在认识“长方形和正方形”之前安排“四边形”学习？（2）学生对四边形的识别水平如何？（3）学生对四边形分类水平如何？（4）学生对长方形、正方形的特征了解程度如何？对这些问题的回答，仅靠经验和直觉是不够的，必须开展前测实证研究，切实把握学生的学习起点，从而为教学设计与实施提供依据。

一、前测设计与实施

（一）前测题拟订

为了准确把握学情，解答思考，研究团队集思广益，拟订了如下前测题。

（二）样本选择

为尽可能地提高前测的信度，研究团队选择了宁波市主城区、县市区城区、乡镇及宁波市外的10个班级共395名学生进行前测，前测对象具备较强的代表性。

（三）前测实施

1.前测时间：2019年10月中旬，“四边形”教学之前一个月左右。

2.实施要点：为避免前后干扰，所有题都按上述题序以纸条形式逐题下发;教师不做任何提示;根据需要适时跟进个别访谈。

二、前测结果

因前测信息量较大，在此仅择要反馈。

（一）描述四边形特征

由于前测题第1题“你觉得什么样的图形是四边形”是主观题，所以研究团队对学生描述过程中所使用的核心词汇进行了分析（如表1）。

（二）识别四边形

根据学生对前测题第2题“圈出四边形”的答题情况，笔者对各图形的识别正确率进行了汇总（如表2）。

（三）四边形分类

从前测看，学生在回答前测题第3题“给四边形分类”时，情况较为复杂，研究团队着重对分类正确的情况进行汇总（如表3）。

（四）绘制长方形、正方形并描述特征

学生在解答前测题第4题时，绘制长方形、正方形的正确率达99.2%，在此着重对特征描述情况进行汇总（如表4）。

三、相关结论

（一）学生对四边形的特征有一定的了解，對边特征的辨识度强于角

从表1可以看出，63.6%的学生说到了“四条边”，47.1%的学生说到了“四个角”，其中21.8%的学生说到了上述两点。共有88.9%的学生至少说到了四边形两个关键特征中的一个。从前测中发现，学生对边的特征的辨识（63.6%）强于角（47.1%）。这一点，在表4中也有明显反映。但当面临分类情境时，学生则会更多基于“是否直角”进行，可能的一个原因是，描述特征时学生更多关注要素细节，而面临分类情境时，学生则会更多从整体角度去认识图形。

（二）学生识别四边形情况存在显著差异

研究团队询问过不少一线教师，如果把教材例1（把你认为是四边形的图形圈出来）直接交给学生来完成，有困难吗？几乎所有教师都肯定地说：没什么困难。但前测的实际情况告诉我们，事实并非如此，有时教学的经验和直觉并不可靠。对于有些图形的识别率偏低，研究团队并不意外（在另外所做的测试中，学生对凹四边形的识别率基本只有25%左右，为此，在本测试中删除了该图形），但对有些图形的识别率偏低的现象则需要通过访谈等形式找到其背后的心理原因。

1.对长方形、正方形等常见四边形识别率偏低

以长方形为例，有近19.2%的学生认为长方形不是四边形。

师：×××，为什么圈四边形时你不圈长方形啊？

生：因为题目叫我们圈的是四边形，而它是长方形。

原来，这些学生心目中的四边形仅指一般四边形，或者说凡是已经学过、命名过的特殊四边形就不能视作四边形。这也从一个侧面说明，在学习四边形之前，不少三年级学生对图形对象的认识处在“非此即彼”的“二元对立”水平。

2.对一般四边形 的识别率偏低有27.6%的学生认为它不是四边形。以下是这类学生的典型想法。

师：×××，为什么圈四边形时你不圈它啊？

生：因为这个图形不像长方形、正方形那样有个名字，不知道它叫什么名字。

生：别的图形都是正的，它是歪的。

显然，如果说前面的学生是因为“已命名”而排除熟悉图形的话，那么这部分学生则恰恰相反，他们是因“未命名”而排除不熟悉的图形。这部分学生往往对长方形、正方形等已命名图形的识别率高于前者，他们认同这些图形是四边形。但这两类学生都有一个共同的特点，即对四边形的认识还未实现一般化、概念化，因此在四边形外延辨识上都有错漏。

3.对标准图式的识别高于变式图式

这是已有的心理学研究结论，在此次前测实验中再次得到验证。如研究团队曾将上述前测实验中的梯形改为，学生的平均识别率降低10%左右。

（三）学生对四边形分类存在较大困难

从表3可以看出，学生分类的正确率很低，总体只有34.4%，其中按角分类的正确率（21.3%）明显高于按边分类（12.4%）。当然，错误分类中也存在两种情况，一种是没有明确的分类标准;另一种则是标准不统一，出现了二次分类。这类学生对分类对象的特征还是有一定了解的，这也是教学的宝贵资源。

（四）绘制长方形、正方形比描述特征容易

绘制图形比描述特征更容易，这是心理学已有的研究结论，在此也得到了验证。全部学生都能在格子图中画出长方形、正方形，但描述特征的正确率则较低，尤其是对角的特征的描述，教学中要关注如何突破。

四、教学启示

为了更清晰地给教学提供帮助，研究团队借助荷兰学者范希尔夫妇的几何思维发展理论对上述前测信息进行发展水平解读。范希尔夫妇将几何思维的发展水平划分为五个水平，小学阶段一般只涉及前三个水平。

（一）有不少学生对四边形的认识处于直观水平，这将是教学的重要切入点

直观，也称视觉（Visuality）。处于这一水平的学生，往往将几何图形看作一个直观的整体，并据此在思维中形成视觉表象。在辨认图形时，他们常常使用典型的表象为依据，很少或难以关注到几何对象的性质和本质性特征。这在“识别四边形”前测题中有典型体现。如对、的识别错误率分别达到20.5%，27.6%，而通过访谈得知，学生认为它长得不像四边形;它是歪的，不像长方形、正方形一样是端端正正的;不知道它叫什么名字;等等。从这些可以看出，很多学生都是以已有的四边形（主要是长方形、正方形、平行四边形）为标准，把它看作一个整体来跟对象进行比对，整体表象接近的则是，反之则不是。学生对 的识别错误也反映其思维水平的直观特性：虽然四个“角”是圆的，但从总体上看，它很像长方形。不少学生在四边形分类前测中也反映出其思维的直观特性，在一些沒有明确分类标准的错误例子中，学生的理由往往是“我也说不清楚，只是觉得它们很像”或者是“这几个很正，这几个是歪的”。

以上信息可以作为教学的宝贵资源。通过暴露学生的真实想法，组织学生相互进行交流、碰撞，促进学生认知从混沌到清晰，从直观水平逐步走向分析水平。

（二）多数学生对四边形的认识达到了分析水平，这将是教学展开的重要支撑

分析（Analysis），也叫描述。处于这一水平的学生，不再仅仅从图形整体外观、借助直觉来判别图形，而是能够依据观察、度量、画图、建模等操作经验来探寻图形的性质，并遵照一组性质将对象看成一个整体。如在对正确识别的学生进行访谈时，多数学生会说：“它也像长方形、正方形一样，有四条边、四个角，所以它也是四边形。”可以看到，学生对前测中各种四边形的最低识别率也达到了62.5%，平均识别率则达到了80%。

以上信息将成为教学展开的重要支撑。通过学生的展示、表达、交流，促进一部分处于直观水平的学生迈向分析水平，完善对四边形特性的认识。与此同时，分析水平预示着学生对四边形的特性有了较好的认识，这是分类活动展开的基础。借助分类活动，可以类化出长方形、正方形，并认识到这两个图形的特殊性进而展开深入研究，为认知从分析水平向关系水平提升奠定基础。

（三）只有个别学生对四边形的认识达到了较全面的关系水平，这是本节课认知提升的关键点

关系，也叫非形式化演绎（Informal deduction）。处于这一水平的学生已能形成抽象的定义，能区分概念的必要条件和充分条件，甚至能做一些简单的推理。在这一水平上，学生推理的对象已不仅是一类图形，而是一类对象明确的性质。推理的结果是将已有的性质与对象联系起来所形成的概念做重新组织，从而改变概念的结构图式。比如处在分析水平的学生，能表达的是这样一个简单的判断：因为这个四边形的对边相等，四个角都是直角，所以它是长方形。而达到关系水平的学生，则会有这样的推理：因为正方形的对边也相等，四个角也都是直角，所以正方形是特殊的长方形。很显然，这样的关系认知不是在增长知识的量，而是在改变认知的结构，因而是促进思维品质、能力提升的重要着力点。

从前测看，学生具备了一部分关系水平认知，如：长方形、正方形是四边形，而且是一种特殊的四边形。但对正方形是特殊的长方形这一关系的理解，从前测的分类活动及访谈中发现，仅有不到5%的学生能有所感悟。因此，这既是本节课认知提升的关键点，也是难点。教师要在充分组织学生认识长方形、正方形特征的基础上提出相关要求，有时需要给予明确的指导。

五、基于前测实证研究的教学实践

在前述对学生学习起点的实证研究基础上，研究团队紧紧围绕范希尔夫妇几何思维水平理论展开教学实践，从直观水平切入，在分析水平展开，最后在关系水平提升，取得了很好的教学实效。

（一）典型材料辨析，纠正学生直观水平认知误区

教师首先呈现生1、生2的前测作品，并请学生本人上台陈述想法。

生1：我们学过的图形中，长方形、正方形是四边形，所以我圈了它们。

生2：我觉得他是对的，我漏了长方形。

生3（迫不及待质疑）：那你为什么不圈平行四边形、菱形？

生1：还没学过。

生3（跑到屏幕前）：没学过就不是四边形了吗？（指着菱形）你看，它也有四条边、四个角，所以它也是四边形！

（生1、生2点头默认。紧接着，教师出示生4、生5的前测作品，组织学生进行辨析）

生4：我觉得四边形要有四条边、四个角，所以我圈了这6个图。

生5：我觉得你圈的不对，第一行第二个图形你数数看，它有五条边，是五边形。

生4：哦！对的。我觉得你的也有问题，为什么圈出它呢？（ ）

生5：虽然它的边有点弯，但它也是四条边，也可以看成是四边形。

生4：弯了就不能算了。

生6：弯弯的还是角吗？角的顶点在哪里呢？连角都没有了，还能算四边形吗？

生7（质疑生4）：第一行第三个图形你为什么不圈？

生4：它长得歪歪的，我们都没学过，不知道它叫什么名字。

生7：那你觉得怎样的图形是四边形？

生4：有四条边、四个角。

生7：那你自己数数看。

……

上述学生的错误，大多反映其几何思维处在直观水平阶段，如生1、生2是“以特殊来指代一般”，未曾关注四边形的特征。生4认为不像其他四边形，生5认为很像四边形，其判别的依据都是一种整体表象上的直觉，缺乏对特征的把握。教师如实呈现前测素材，通过学生之间的阐述、互动质疑，帮助一些学生从直观水平的认知误区中走出来，逐步明晰概念，知道四边形“四条直的边、四个角”的特征，也认识到辨别一个图形应该从其特征入手。

（二）概括分类活动，促进思维从直观水平走向分析水平

在前期辨析活动的基础上，学生已能概括并明确四边形的特征，学生确认了其中6个是四边形，教师让学生尝试将这6个四边形分为两类。教师巡视，指名学生在黑板上展示分类结果。（教师提供两套磁性四边形材料）

通过组织学生介绍自己的想法，明确分别是按照“四个角是否直角”和“对边是否相等”为标准来分类的。紧接着，教师组织学生观察两种分类方法，通过交流学生发现：四个角是直角的有长方形、正方形，对边相等的也有长方形、正方形。从而揭示长方形、正方形的边和角的共同特征：对边相等，四个直角。进而讨论得出两者的不同点：长方形对边相等，正方形四条边都相等。

以上结论主要来自学生在低年级“认识图形”学习时的所得和日常经验积累，并未对上述特征在实践操作层面进行检验，为此，教师又组织学生开展了相关的验证、汇报展示和交流互动等活动，进一步确认长方形、正方形的特征。

上述环节教学中，学生通过概括、分类、验证、展示交流等活动，对四边形、长方形、正方形的认知逐步从依赖整体直觉的直观水平的模糊状态走向抓住特征的分析水平的清晰状态，为思维从分析水平向关系水平迈进奠定了基础。

（三）辨析运用实践，提升思维从分析水平迈向关系水平

虽然学生对四边形有着一些关系化的认知，但这种认知往往以潜意识的状态存在。如学生知道长方形、正方形等都是四边形家族里的成员，而且是一些特殊的成员，但这种认知缺乏自觉性、主动性，并且没有以结构化的形态清晰地存在于学生的认知中。而对于“正方形是特殊的长方形”这一关系的理解，绝大多数学生都未达成。因此，本节课的巩固练习环节主要有两方面任务，一是进一步完善对四边形外延、内涵的认识，二是突破“正方形是特殊长方形”这一认知难点。

1.辨析活动完善对四边形的认知

教师呈现一道判断题：这是一个四边形。请学生思考后展开辨析。

生1：我觉得它不是四边形，四边形都是鼓起来的，不是凹进去的。

生2：你认为怎样的图形才是四边形呢？

生1：要由四条边、四个角围成的。

生2：那它也有四条边、四个角。

生3：不对！它只有两个角。

生2跑上前，边指边数出四个角和四条边。

通过上述辨析活动，学生进一步完善了对四边形外延的认知，同时也夯实了对四边形内涵的理解。

2.想象活动促认知从分析水平迈向关系水平

（1）教师出示一道判断题。

被遮住的长方形的四边总长是12cm。

通过交流，学生认为长方形四边总长可能比12cm小，也可能比12cm大，但不可能是12cm。学生的理由是如果四边总长是12cm，那就是正方形了（潜台词：正方形不是长方形），即学生对“正方形是特殊长方形”的关系认知尚未突破，为此，教师又安排了下面的跟进想象练习。

（2）教师出示下图。

请学生想象，如果把这条线段向右移动，线段所“刷”出的面是什么形状？

生：长方形。

师（课件演示线段缓慢移动并随时暂停）：什么图形？

生：长方形、长方形、长方形……

师：可以有几个长方形？

生：无数个。

生：不對！当线段移动到8厘米处时，是一个正方形。

（全班同学纷纷附和）

师：会出现几个长方形？几个正方形？

生：无数个长方形，1个正方形。

师：是啊！在这个变化过程中，会出现无数个长方形，而只有在某一时刻，才会出现一个正方形。正方形好特殊啊，所以人们常说，正方形是特殊的长方形。

很多学生对这句话表现出迷茫。教师通过特征分析引导学生理解：正方形的对边相等，四个角都是直角，它符合长方形的特征，所以正方形是长方形，只不过它是一种特殊的长方形，特殊在它不仅对边相等，连邻边（四条边）都相等。

研究团队发现，在多次教学中，仅有一名学生主动提出“正方形是特殊的长方形”，并且在与其他学生的辩论中能通过特征“说服”其他同学。说明这确实是一个认知难点，所以在适当的时机，由教师引领突破这个难点是合适的。这个难点一旦突破，学生的认知就有了重大飞跃，因为学生对长方形、正方形的关系认知从“二元对立”（下左图）走向“包含关系”（下右图）。下右图即为通过交流，学生上黑板绘制的板书。

3.猜四边形活动进一步深化关系认知

师：老师的信封内有一个四边形，请你猜猜看是什么四边形。

（学生毫无凭据地瞎猜）

师：允许你提一个问题。

生：它的对边相等吗？

师（装作悄悄看了看信封）：哎，对边还真相等！

多数学生喊：长方形！

（师出示，结果是一个平行四边形）

师：思考，在上面包含关系的长方形、正方形图中，平行四边形应该摆在哪里？

通过交流，学生提出应该摆在外面，即长方形、正方形都是特殊的平行四边形。

本环节通过三次想象交流活动，层层递进，不断突破学生认知的现有发展区上限，引领学生认知从分析水平提升到关系水平，并在进一步活动中，丰富和完善关系认知，真正促进学生认知结构的改变，其实质则是儿童智慧的提升。

本节课的研究过程，紧扣儿童的认知心理特点，在范希尔夫妇几何思维水平理论指导下，规范科学地开展学习起点前测活动，在充分了解学情的基础上设计和实施教学，引领学生的思维从直观水平切入，在分析水平提升，最后在关系水平突破，取得良好的教学效果。