柔性轮对的轮轨静态接触和车辆动态性能研究*

石俊杰， 崔 涛， 高 峰， 王铁成

(中车唐山机车车辆有限公司 产品技术研究中心， 河北唐山 063035)

轮轨接触问题是轨道车辆系统动力学中一个重要的研究课题，轮轨间的接触和作用直接影响车辆的运行性能，研究轮轨问题的第一步就是轮轨接触点的计算。迹线法给出了一种计算方法，但它是基于轮对刚性的假设。随着车辆运行速度及载荷的不断提高，轮对的弹性变形对接触点位置、动力学性能[1-2]、轮轨磨耗[3-4]以及噪声[5]都会产生一定的影响，考虑轮对弹性变得十分必要。

目前一些文献对柔性轮对接触点问题进行了研究。高浩[6]通过有限元方法提取轮对模态信息(振型、模态坐标)来获得轮对变形，再基于迹线法求解，此方法需扫描大量节点，计算量较大。张宝安[7]将车轴假设为铁木辛柯梁求解其变形信息，再利用轮轨接触几何关系，用解析的方法对约束方程进行求解，约束方程的解析过程较为复杂。假设车轮不发生变形，仅考虑车轴为柔性，将车轴考虑成欧拉-伯努利梁对其变形进行求解，基于迹线法[8]几何求解接触点位置，该方法简单且精确性较高。目前对柔性轮对的动态性能研究[9-10]均基于商业软件ANSYS与SIMPACK开展且几乎不考虑轨道建模(考虑轨道的研究仅将钢轨假设为梁模型)，利用自编动力学积分程序进行计算分析，并建立详细的轨道模型(钢轨-轨道板-路基)以更好反映柔性轮对的轮轨耦合效应。

1 柔性车轴变形的求解

轮对受到轮轨间的作用力和一系悬挂作用力两个力，其中轮轨间作用力为主动力，悬挂力为被动力。为求解车轴变形，将车轴简化为欧拉-伯努利梁，轮轨作用力简化为两处作用在梁上的正弦变化的力，悬挂力为被动力，则将其作用点设为简支点。柔性车轴被简化为求解在两端简支的欧拉-伯努利梁作用两个正弦力。如图1，为车轴简化示意图，其中l为两端悬挂作用点的距离，a为名义滚动圆到悬挂点的距离，F为正弦变化的力，形式为F=F0sinω0t+F1。

图1 弹性车轴简化模型

将车轴简化为均质等截面梁，则欧拉-伯努利梁的运动微分方程为：

(1)

式中，ρ为密度，A为截面积，E为杨氏弹性模量，I为截面极惯性矩。

微分方程的解利用分离变量法可变成振型函数与正则坐标值之积：

y(x,t)=Y(x)T(t)

(2)

将式(2)代入式(1)求解，可得偏微分方程(1)的解：

y(x,t)=(Asinkx+Bcoskx+Cshkx+

Dchkx)sin(ωt+φ)

(3)

(4)

将式(4)代入式(3)，可得:

B=C=D=0,shkl=0

(5)

则主振型及相应固有频率为

n=1,2,3…

(6)

由主振型对质量的正交性条件：

(7)

得主振型函数：

(8)

现求外力作用下强迫振动微分方程的解：

(9)

设其解为：

(10)

将式(10)代入式(9)，利用主振型的正交条件，可得到关于正则坐标的独立常微分方程：

(11)

可求得正则坐标的解为：

(12)

以下开始求外力F=F0sinω0t+F1作用下的梁的响应。主要计算参数如下：

F0=40 kN，F1=20 kN，ω0=6

E=213.5 GPa，d=170 mm，ρ=7.85 g/cm3，

I=2 000 mm，a=248.26 mm，空心车轴内外径比β=0.3。

将外力F的两项分别利用上述微分方程的解来求得车轴的响应。对于第1项，其作用的集中载荷可写为：

q(x，t)=F0sinω0t·δ[(x-a)+(x-l+a)]

(13)

则广义力为：

(14)

(15)

车轴的转角可由式(15)对x求偏导求得：

(16)

同样方法，对于外力F的第2项，车轴受其作用而产生的运动响应为：

(17)

该响应的一阶角速度ωn=570.96 rad/s，对应周期为0.011，阶数越大周期越短。因此该恒力作用下响应的每一阶均呈周期极短的正弦形式变化，所以取各阶响应的均值作为响应，忽略尾项(1-cosωnt)，认为恒力作用下梁的响应为静态。通过与简支梁静态下的挠度公式对比变形量一致，因此取第2项恒力作用下的响应和转角为:

(18)

(19)

将两项作用力的响应相加即为车轴受力下总的响应，利用该式可求任意时刻、车轴上任意位置上的横向位移和转角。

2 轮轨静态接触分析

2.1 传统迹线法

传统的迹线法是利用轮轨接触几何特性，将三维的面与面的接触问题降维为二维的线与线的接触问题，以轮对摇头角和横移量为变量，求解接触点。轮轨接触点必定位于轮轨的公切线上，迹线法的原理基于以下两个几何特性：⑴轮对踏面为轮廓线绕车轴旋转而成，同一个滚动圆上所有点的切线必定交于车轴上的同一点。⑵钢轨为截面沿直线拉伸而成，因此公切线与铅垂面平行。基于以上条件，对于每一个滚动圆，过车轴上切线的交点作铅垂平面，与滚动圆中下方的交点即为该滚动圆上唯一可能的接触点。所有滚动圆上可能的接触点构成一条空间接触迹线，空间迹线一系列离散点中与钢轨面垂向距离最小的点即为接触点。

2.2 考虑轮对柔性的接触几何计算方法

考虑轮对柔性，假设车轮不发生变形，仅考虑载荷作用下车轴的弹性变形，即车轴与车轮平面的垂直关系已不存在，故上述第2.1节特性⑴不满足，滚动圆切线不再交于车轴。

考虑柔性时，车轴变形为任意形状，将车轮考虑为与未发生变形时车轴与名义滚动圆交点固结(以下称固结点)，且任意时刻车轮截面与该点法线保持垂直。因此虽然车轴发生变形，但随固结点的变化车轮姿态发生变化后，滚动圆的切线仍交于同一点，只是该点不再位于车轴上而位于变形后的车轮轴线上，仍然可以通过该点确定滚动圆上迹线点的位置。利用上述已求得的车轴变形方程，固结点的变形量即为车轮姿态和空间迹线的姿态变化量，发生相同的垂向的位移和绕前进方向的旋转。因此，在考虑轮对柔性时，根据已求得的变形量确定变形后新的迹线的空间位置，再基于传统迹线法即可求解轮轨接触点位置及其他几何参数。

考虑轮对柔性的接触点几何计算方法步骤可归纳如下：

①给定时间，通过求解运动微分方程获得该时刻车轴变形信息。

②给定轮对横移量及摇头角，计算变形前车轮的接触迹线。

③根据已得到的变形信息计算变形后新的接触迹线。

④车轮迹线与钢轨最小垂向距离的点为可能的接触点。若两侧垂向距离“相等”，即相差小于精度条件，则为接触点；否则侧滚调整，直至满足精度，确定接触点位置及其他几何参数

2.3 计算实例

选取LM磨耗形踏面和标准60钢轨为研究对象，利用MATLAB软件自编基于迹线法的柔性轮对接触几何参数程序，分别计算并对比了考虑轮对柔性与否的接触几何参数，包括轮、轨接触点横向位置，滚动圆半径之差，接触角之差，等效锥度。以下各图为轮对弹性变形接近最大值时刻下(t=0.25 s)，各参数随轮对横移量变化的情况，摇头角取为3°，横移量变换范围为-8～8 mm，轮缘与钢轨不发生接触，仅讨论一点接触情况。

图2 右车轮接触点横向位置变化图

图3 右钢轨接触点横向位置变化图

图2和图3分别为右车轮及右轨上接触点横向位置的变化情况，以刚性轮对无横移、无摇头角时接触点横向位置为零点，远离轮缘方向为正方向。可以看出，柔性轮对横移量相比均往右横移了一段距离，这是因为考虑轮对柔性后，右侧车轮向外侧翻转一定角度，导致接触点位置外移。右车轮和右轨上接触点位置在横移量较小时，两者相差不大，横移量往负方向增大时，两者之差略有增加，在6 mm附近时，两者接触点位置相差最大，右车轮之差为5.97 mm，右轨上之差为4.53 mm。

图4 车轮滚动圆半径之差变化图

图5 接触角之差变化图

图4和图5为车轮滚动圆半径和接触角之差随横移量的变化情况。当横移量小于3 mm时，两者几乎重合，随着横移量的增加，刚性轮对之差相对更大。可以看出，当考虑轮对柔性时，滚动圆半径和接触角随横移量的变化趋势相对较小

图6 等效锥度变化图

图6为等效锥度随横移量的变化情况。当横移量小于3 mm时，两者几乎重合，当横移量继续增大时，刚性轮对相对等效锥度更大。这是因为等效锥度与滚动圆半径之差成比例关系，因此变化趋势和滚动圆半径之差一致。

3 车辆动态性能分析

为了分析将轮对考虑成柔性体后对车辆系统动力学性能的影响，本节利用有限元软件ANSYS求解轮对的模态振型信息，并将其导入自编的车辆轨道系统动力学仿真程序，并利用该程序对比分析考虑轮对柔性对车辆动态性能的影响。

3.1 车辆动态性能分析

如图7为车辆轨道系统模型示意图。车辆模型主要由轮对、构架和车体构成，其中轮对考虑为柔性体，车辆各刚体考虑6自由度。轨道模型由钢轨、轨道板和路基构成，钢轨为欧拉梁解析解并考虑其横向、垂向运动，轨道板采用与轮对相同的刚柔耦合建模方法，由ANSYS计算模态振型信息并输入到轨道模型中。根据上述模型分析各个体之间的受力关系，推导各个体的振动微分方程，并利用数值计算软件Fortran编制了动力学积分程序，积分方法采用翟方法。

图7 车辆轨道模型示意图

3.2 柔性轮对动力学建模

3.2.1模态叠加法

对于轮对，其系统的振动微分方程可以表示为式(20)。

(20)

上式中M、C、K、f分别为广义质量、阻尼、刚度和力矩阵，但关于轮对的常微分方程组中各个微分方程相互耦合，无法独立求解，因此引入特殊的坐标转换矩阵A对方程进行解耦，坐标转换矩阵A满足式(21)。

(21)

上式中MP、CP和KP均为如式(22)形式的对角矩阵：

(22)

利用坐标转换矩阵A可将振动微分方程从物理坐标空间变换到模态空间并对解耦后的单个微分进行独立求解，将x=Aq代入式(20)并在等式两边乘AT可得式(23)

(23)

将式(21)代入式(23)可得

(24)

式中MP、CP和KP均为对角矩阵，因此可对上式中各阶微分方程在模态空间下进行独立求解得到模态坐标，并利用坐标转换矩阵A变换得到物理空间系下的绝对坐标。

一般习惯上都将质量矩阵MP化为单位矩阵E，令此时关于质量矩阵MP归一化的变换矩阵A为AN，后续从有限元软件中导出的振型矩阵即为关于质量归一化的AN。

3.2.2有限元分析

利用三维软件和网格划分软件建立轮对实体模型并划分好网格后导入到有限元软件ANSYS中用于提取轮对的模态振型信息，建立的有限元模型如图8所示。对轮对有限元模型进行自由模态分析，选取轮对与车辆轨道系统耦合需用到的节点并输出其前14阶模态振型信息，其中前6阶为刚体振动模态，其他各阶柔性模态频率见表1。如图9为部分阶模态振型动画截图。

图8 轮对有限元模型

表1 轮对各阶振动频率

图9 部分振型动画截图

3.2.3柔性轮对与车辆轨道系统的耦合

当考虑轮对的柔性以后，积分时每一步轮对各自由度(位移、速度、加速度)的值由刚体和柔性体两者的自由度叠加而成。在车辆轨道系统中，轮对一方面通过一系悬挂与构架相互作用，另一方面通过轮轨接触与钢轨相互作用。因此，在将柔性轮对与车辆轨道系统耦合时，主要考虑以上两部分作用的耦合。

当考虑柔性轮对与构架相连的一系悬挂作用时，除刚性自由度以外，轮对柔性变形会带来附加的一系悬挂力。因此提取轮对车轴上一系悬挂点处柔性变形信息，将其与轮对刚体自由度叠加可得到一系悬挂作用力。以一系垂向力为例，考虑轮对柔性后附加的悬挂力如式(25)所示。

(25)

当考虑柔性轮对与钢轨接触作用时，采取一定的简化方法。从模态分析各阶振型动画可以看出，轮对车轮踏面廓形几乎不发生变形，因此假设轮辋环状廓形不发生变形，如图10所示，无论轮对发生何种形式变形，存在左右车轮轮辋环状廓形轴线及其在车轴的交点，可以此轴线为虚拟刚性车轴并在交点固结一个刚性车轮[11]，如此就可以采用传统轮轨接触算法分别求解左右车轮的接触关系及动态作用力。

图10 柔性轮对虚拟轴示意图

3.3 计算实例

利用建立的车辆轨道系统动力学积分程序，计算分析两种不同工况下柔性轮对对于车辆轨道系统的影响。

3.3.1常规计算工况

仿真车速选取所建立动车组车辆的常规运营车速250 km/h，轨道激励采用武广线实测谱，仿真时间为14 s，分别计算柔性轮对和刚性轮对两种模型，仿真输出与轮对相关的轮轨力和一系悬挂力，并分析考虑是否柔性轮对对于车辆性能的影响。

图11为轮轨垂向力和横向力的时域仿真结果，可以看出柔性轮对与刚性轮对的轮轨力时域结果基本重合，不同时刻的最大值略有差异，考虑轮对是否柔性对轮轨力时域结果影响较小。为了进一步分析柔性轮对对于轮轨力的影响，在频域内进行分析(如图12，为两者的轮轨力频谱图)。从轮轨垂向力频谱图中可以看出，当轮对考虑为柔性模型时，50～60 Hz附近P2力对应的幅值有较为明显的提高，而在其他频率范围，考虑轮对是否柔性对轮轨垂向力的频谱影响不大。而对于轮轨横向力，在所有频率范围内考虑轮对是否柔性均没有明显差别。

图11 轮轨力时域对比图

图12 轮轨力频域对比图

图13为一系悬挂垂向力和横向力的频域仿真结果，同样地可以看出考虑轮对是否柔性对于垂向力频域结果影响很小，而对于横向力，在15～25则Hz附近当轮对为柔性时幅值略有增大。

图13 一系悬挂力频域对比图

值得注意的是，当考虑轮对柔性时，仅在轮轨垂向力频域成分P2频率附近幅值有所增大，对其他频率特别是柔性轮对模态振型频率附近没有明显的区别，这是由于采用的武广线轨道谱激励频率主要在20 Hz以下，频率较低难以激发起轮对的模态振型。因此在下一节中将计算激励频率覆盖范围更高的特殊工况。

3.3.2初始不称重工况

为了分析更高频率下，柔性轮对与刚性轮对的响应差别，在动力学积分前不对车辆系统进行垂向称重且不施加轨道激励谱，因此车辆在积分初始阶段在垂向会有剧烈的振荡，可以将此看作一个自适应称重的过程，该过程将持续0.3 s，垂向振动将从剧烈逐渐趋向于正常的振动状态。初始的自称重过程由于振动剧烈将覆盖更高的频率范围，取该过程的计算结果研究柔性轮对在高频率激励下的特性，以下是轮轨力、悬挂力的频域结果对比。

图14 轮轨力频域对比图

图15 一系悬挂力频域对比图

图14为轮轨力频谱分析对比图，从上方的垂向力频域结果可以看出考虑轮对柔性对于轮轨垂向力的影响不是特别大，仅在一阶弯频率(120 Hz)附近存在一较小的峰值。从横向力频域结果可以看出两者差别很大，刚性轮对横向力在各频率处幅值很小，这是由于当不施加轨道谱时刚性轮对不发生变形，不存在横向运动趋势导致的，而柔性轮对除了在P2力频率附近幅值较大，在一阶弯和三阶弯固有频率都存在明显峰值。图15为悬挂力频谱分析对比图，同样地由于考虑轮对柔性，在一阶弯和三阶弯固有频率都存在明显峰值，而刚性轮对由于不产生变形，车轴上的一系悬挂点与构架连接处几乎不发生横向位移，因此悬挂横向力幅值很小。

4 结 论

文中分别计算分析柔性轮对在静态下轮轨接触几何关系的变化和动态下对车辆系统动态性能的影响:

(1)对于轮轨静态接触几何关系，介绍了一种将车轴简化看成欧拉-伯努利梁柔性轮对模型，求解其变形信息，并利用变形信息基于迹线法的思想自编程序，求解柔性轮对变形后轮轨接触点位置及其他几何参数，是一种便捷快速的柔性轮轨接触几何计算方法，并与刚性轮对进行比较。结果表明，当考虑轮对柔性时，各接触参数与刚性轮对相比会有一定变化。当轮对横移量在6 mm左右时，两者差别最大。以轮、轨上接触点位置为例，考虑柔性带来的变化最大能达到刚性情况下的31%和33%。

(2)对于考虑轮对柔性时的车辆动态性能，采用模态叠加法在车辆-轨道耦合系统建立了柔性轮对模型，考虑柔性轮对与钢轨、一系悬挂的耦合，并利用自编车辆-轨道系统自编动力学程序计算常规工况和不称重特殊工况。常规工况下，考虑轮对柔性对轮轨力和一系悬挂力影响很小，仅在频域下，轮轨垂向力P2力频率成分附近幅值明显增大。而在车辆初始不称重的特殊工况，由于垂向自称重过程覆盖了更高频率，考虑轮对柔性的影响明显，在频域结果下都存在明显轮对固有模态带来的频域结果峰值。结果表明当轮对受到高频激励时固有模态被激发，将轮对考虑成柔性更接近于实际。