拓扑空间中的半弱连续映射及其性质

陈舒婷，陈水利，蔡璐蔚，刘伟权

(1.集美大学诚毅学院，福建 厦门 361021；2.集美大学信息工程学院，福建 厦门 361021；3.厦门大学信息学院，福建 厦门 361005；4.福建省智慧城市感知与计算重点实验室，福建 厦门 361005)

0 引言

众所周知，连续映射理论是拓扑学中最重要的研究内容之一。不少学者在拓扑空间中引入了各种各样的连续性的概念，并系统研究了各种连续的基本性质及其应用[1-8]，丰富了拓扑空间理论。本文在前人的研究基础上，对拓扑空间中的半连续映射和弱连续映射等概念进行推广，给出了半弱连续映射等概念，研究了半弱连续映射的等价条件，并讨论了拓扑空间中半弱连续映射的基本性质，以及半弱连续映射与其他弱形式的连续映射之间的关系。本文进一步丰富和完善了连续映射理论，为深入研究拓扑空间理论提供了新的理论工具。

1 预备知识

为了便于引用，下面给出本文将用到的一些基本概念。

定义1[1]设(X，T1)与(Y，T2)是拓扑空间,f：X→Y为映射。1)如果∀V∈T2，有f-1(V)∈T1，则称f是X上的连续映射；2)设x∈X，如果U∈U(f(x))，存在G∈U(x)使f(G)⊂U，则称f在点x处连续。

定义2[1]设(X，T)是拓扑空间,A⊂X。1)如果存在B∈T ，使得B⊂A⊂B-，则称A为半开集；2)如果存在闭集C，使得Co⊂A⊂C，则称A是半闭集。

定义3[1]设(X，T)与(Y，T1)都是拓扑空间，f：X→Y是映射。1)如果任意B∈T1，都有f-1(B)∈So(X)，则称f是半连续映射；2)设x∈X，如果任意V∈Uo(f(x))，都有f-1(V)∈Us(x)，则称f在点x处是半连续的。

定义4[1]设f是从拓扑空间X到拓扑空间Y的映射，x0∈X。如果任意V∈Uo(f(x))，都存在U∈Uo(x0)，使得f(U)⊂V-，则称f在x0处弱连续。如果f在每一点x∈X处都是弱连续的，则称f是弱连续映射。

定理2[1]设f：X→Y是从拓扑空间X到拓扑空间Y的映射，则下列条件等价：1)f是弱连续映射；2)对任意Y中的闭集A，(f-1(Ao))⊂f-1(A)；3)设B是Y中的基，则任意A∈B′，(f-1(Ao))⊂f-1(A)；4)设B是Y中的基，则任意B∈B，f-1(B)⊂(f-1(B-))o。

定义5[1]设A是拓扑空间X的子集，x∈X。如果∀V∈U(x)，有V-∩A≠(V-o∩A≠)，则称x是A的θ-附着点(δ-附着点)，A的所有θ-附着点(δ-附着点)的集合称为A的θ-闭包(δ-闭包)，用表示。当时，称A是θ-闭集(δ-闭集)。

定义6[1]设D是定向集，则映射S：D→X称为X中的网。∀n∈D，用S(n)表示S在点n的值，网S又可以记作S=S(n)n∈D。

定义7[1]设X是拓扑空间,S=S(n)n∈D是X中的网，x∈X。如果∀U∈U(x)，存在n0∈D，当n≥n0时，有S(n)∈U，则称网S收敛于x，或称x是网S的极限点，记作S→x，S的所有极限点的集合，记作limS。

定义8[1]设A是拓扑空间X的子集，x∈X。如果∀V∈U(x)，有V-∩A≠(V-o∩A≠)，则称x是A的θ-附着点(δ-附着点)，A的所有θ-附着点(δ-附着点)的集合称为A的θ-闭包(δ-闭包)，用表示。当时，称A是θ-闭集(δ-闭集)。

定义9[1]设(D，≤)是偏序集，如果满足：∀x,y∈D，存在z∈D使z≥x，且z≥y，则称D为定向集。

注1 考虑拓扑空间X的点x的半邻域族Us(x)，∀A,B∈Us(x)，定义A≤B⟺B⊂A，则Us(x)也是定向集。

2 半弱连续映射及其基本性质

本节把拓扑空间中的半连续映射和弱连续映射进行推广，引入半弱连续映射概念，并系统研究半弱连续映射的基本性质。

证明1)⟹2)。定理5的1)⟹2)已证。

定理10 对于映射f：X→Y，下列叙述是等价的：1)f是半弱连续映射；2)对于每个开集A⊂Y，f-1(A)⊂(f-1(A-))；3)对于每个闭集B⊂Y，(f-1(Bo))⊂f-1(B)。

2)⟹3)。令B⊂Y为闭集，则B′⊂Y为开集，由条件2)知f-1(B′)⊂(f-1(B′-))，又因为f-1(B′)=(f-1(B))′且(f-1(B′-))=(f-1(B))=(f-1(Bo))=(f-1(Bo))-′-=(f-1(B))，所以(f-1(Bo))⊂f-1(B)。

3)⟹1)。令B⊂Y为闭集，则(f-1(Bo))⊂f-1(B)，又f-1(Bo)⊂f-1(B)，由定理8，有所以由定理7得出f是半弱连续映射。

接下来，为讨论半弱连续映射与连通的关系，引入半隔离集和半连通的概念。

定义12[2]A⊂X称为半连通的，如果A不是两个半隔离集的并集。

定理11 如果映射f：X→Y是半弱连续满射且X是半连通的，则Y是连通的。

证明反证法。设Y是不连通的，则存在着在Y中的非空开集V1，V2，使得Y=V1∪V2且V1∩V2=。因此f-1(V1)∪f-1(V2)=X且f-1(V1)∩f-1(V2)=Ø。因为f是半弱连续的且是满射的，由定理10得出≠f-1(Vi)⊂(f-1(Vi-))，i=1,2。但Vi是既开且闭的，所以f-1(Vi)⊂(f-1(Vi))，i=1,2。因此f-1(Vi)是半开集，i=1,2。这与X是半连通的假设矛盾，因此Y是连通的。

紧接着，为了研究半弱连续映射在网上的性质，先将网的几个基本定义进行推广。

定义13 设X是拓扑空间,S={S(n)|n∈D}是X中的网，x∈X。如果∀U∈Us(x)，存在n0∈D，当n≥n0时，有S(n)∈U，则称网S半收敛于x，或称x是网S的半极限点。

定义14[1]设S={S(n)|n∈D}是拓扑空间X中的网，x∈X。如果∀U∈U(x)，存在n0∈D，当n≥n0时，有S(n)∈U-，则称网S是θ-收敛于x。

定理13 设f：X→Y是从拓扑空间X到拓扑空间Y的映射，则f是半弱连续映射当且仅当∀x∈X，对X中任意半收敛于x的网S={S(n)|n∈D}，f(S)θ-收敛于f(x)。

3 半弱连续映射与其他几种弱形式连续映射的关系

定理14 设f：X→Y是连续映射，则f也是半弱连续映射。

定理15 设f：X→Y是半弱连续映射，Y是正则空间，则f是半连续映射。

定理16 设f：X→Y是从拓扑空间X到拓扑空间Y的映射，若对Y中任一开集V，f-1(∂V)总是X中的闭集，则f是半弱连续映射当且仅当f是连续映射，这里∂V表示V的边界。

当然，由于连续映射是半连续映射也是弱连续映射，所以有以下的推论1和推论2。

推论1 设f：X→Y是半弱连续映射，若对Y中任一开集V，f-1(∂V)总是X中的闭集，则f是半连续映射，这里∂V表示V的边界。

推论2 设f：X→Y是半弱连续映射，若对Y中任一开集V，f-1(∂V)总是X中的闭集，则f是弱连续映射，这里∂V表示V的边界。

定理17 设f：X→Y是半连续映射，则f也是半弱连续映射。

定理18 设f：X→Y是弱连续映射，则f也是半弱连续映射。

定理19 设f：X→Y是半弱连续映射，则f也是弱半连续映射。

最后，本文用一个图表描述半弱连续映射与其他几种连续映射的关系，如图1所示。

图1 半弱连续映射与其他几种连续映射的关系