搭建支架 “发现”本源——“二次函数与线段最值”的教学实践与思考

庄周燕

(江苏省南通市通州区育才中学 226300)

核心素养时代，为了让我们的课堂在有限时间内产生较高的效应量，需要我们对知识进行有意义的建构，而例题教学作为课堂教学中的一个重要环节，我们要重视挖掘它的价值，注重拓展和延伸，可设置一题多问，“问题”是数学的心脏，我们要让它更具开放性、探究性和层次性，教学时不断加强基本技能和数学思想的教学力度，让学生理清一题多问中的相互关联，感知知识发生、发展的过程，让学生的的思维更加开阔和深刻，实现扩张效应.下面就“二次函数与线段最值”的思考和实践进行回顾梳理，以呈现自己与课的成长历程.

问题1 过点P作y轴的平行线交直线AC于Q点，试用含有m的式子表示线段PQ的长并求线段PQ的最大值.

=-2m2-4m=-2(m2+2m)=-2(m+1)2+2,

又∵-2

∴当m=-1时，PQ有最大值为2.

评析本问要研究线段PQ的最大值，考虑到P,Q两点横坐标一样，线段长度计算可考虑用点P的纵坐标减去点Q的纵坐标，得到一个二次函数表达式，再考虑范围，求出最大值.二次函数模型的建构为后续学习打下了基础.

问题2过点P作x轴平行线交直线AC于N点，求线段PN的最大值.

解过点P作PD⊥x轴于D点，交AC于点Q.

∵PN∥AB,

∴∠PNQ=∠CAO,

∴tan∠PNQ=tan∠CAO.

∴PN=2PQ.

当PQ最大时，有PN最大.

由第1问可知，当m=-1时，PQ有最大值为2,所以PN的最大值为4.

评析在问题1的基础上，引导学生自主尝试，互动交流，让学生在自主活动中发挥主体性，积极性和发展性，在问题2探究时，有学生提出点P和点N的纵坐标一样，是不是也可以像问题1一样，设纵坐标为n，将两点的横坐标表示出来，再考虑横坐标之差，但实践发现点P的横坐标不易表示，当学生朝着一个固定的思维方向受阻时，我们可以引导学生转换思路，合理灵活地寻找新的探索方向，转为PN和PQ之间的关系研究，问题的解决让他们感受到转化在解题中的作用和价值.

问题3求P点到直线AC距离的最大值.

解∵∠HPQ+∠PQH=90°，∠AQD+∠QAD=90°,

又∵∠AQD=∠PQH,

∴∠HPQ=∠QAD.

评析问题1至3渐进的设置，自然、合理、必然，有效地促进了学生的数学体验.前两问的探析，让学生找到一条清晰的解决问题的方法路径，学生在探索中获得了有益的感悟，有助于锻炼思维的灵活性，在不知不觉中习得技能，问题3自然而然得以解决.这表明学生的解题能力进一步走向深入.

问题4作PD⊥x轴于D点，交AC于Q点，作PH⊥AC于H点，求△PQH周长的最大值.

同理∵QH=PQsin∠QPH,

C△PQH=PQ+PH+QH

问题5连接PA，PC.求△PAC面积的最大值.

解S△PAQ+S△POQ

由第1问可知，当m=-1时，PQ有最大值为2,所以△PAC的面积为2.

评析问题4和5，作为前3问的延续和拓展，进一步唤醒、激活了学生已有的知识经验，完成了对数学知识的建构，让学生总结得出不同的题型最后都可化归为线段PQ的研究.通过对教学资源的设计，可跳出“就题讲题”的窠臼，有效地促进学生的数学体验，让学生获得真正意义的成长.

磨课感悟本题是一道以二次函数为背景的动态探究综合题，有效融合了二次函数转化思想，三角函数，三角形的周长、面积计算等基础知识.首先研究线段长度和坐标之间的关系，用二次函数表达式表示线段的长度，让学生从知识的“根部”开始，逐渐加深，理解知识的发生，发展过程，体验题型设计的合理性与层次性，引导学生从事物的本源去深思，把握知识的本质.

1.厘清问题根源，发现入门钥匙

本节课我采用了“情境——建模——求解——应用”的教学流程，首先创设一个让学生易于理解的学习资源问题1，完成二次函数模型的建构，在本源性的数学问题研究后，再派生出问题系列，层层递进.问题2的探究为问题3-5的研究提供了很好的研究范式.当我们找准知识的生长点后，引导学生在这里下功夫，帮助学生找到入门的钥匙.

2.着眼模型建构，发现解题技巧

为了使教学更具生成性，开放性和发展性，我们将教学素材进一步整合，让不同的数学问题以及数学实质的不同侧面进行对话，引导学生用有效的策略和方法去探索，思考和理解，从最近发展区出发，力求在有限的时间里，通过发现问题、思考问题.学生能够透过表象，发现本源，从而走向最远的终点，同时能在比较中感受知识的发展脉络，找到几个问题的共同要素，从中汲取对自己有用的解题经验，从而将新知和已有经验进行融会贯通，最终完成新知的建构.

3.拓宽探究渠道，发现蕴藏之质

数学教学就是教师引导学生进行数学活动，在师生之间、生生之间的积极交流和互动中完成学习任务，实现共同发展.本课为了让结构更合理，互动更有序，合作更有效，设置时主要让学生在第1问的基础上进行联想，将问题串联在分类与整合的这根线上.学生通过思维参与，行为参与，在体验中思考、交流，在思维碰撞的过程中逐步悟化，探究出事物的本质，思维品质得到了进一步提升，形成更佳的智能结构.

总体来说，本节课以探究为基点，让学生经历了完整的观察、合作探究，归纳总结的过程，先“融会”再贯通.学生透过老师搭建的层层阶梯，逐步找到核心问题，即线段最值问题可转化为二次函数最值问题来探究，在细致揣摩中对题目的本质有了清晰的认识，形成了解决问题的基本策略，学生在探寻中实现了整体建构的价值提升.