运用向量简证三角形内心坐标公式

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

为了便于广泛交流，把此结论称之为三角形内切圆圆心坐标公式，即三角形内心坐标公式.

三角形内心坐标公式，文字表述简洁，符号表述漂亮，结构优美，十分有趣，让人赏心悦目，享受到数学之美，感受到数学的魅力，且有着广泛的用途.由此引起笔者极大的探究兴趣与热情，笔者查阅了大量的资料，没有找到三角形内心坐标公式的证明记录.笔者反复思考，反复推算，调整思维，受文[2]的启示，笔者想到运用向量探究三角形内心坐标公式的简证，获得成功，形成此文，与大家分享、共赏.

因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，O(x0，y0)，

所以由③，得a(x1-x0，y1-y0)+b(x2-x0，y2-y0)+c(x3-x0，y3-y0)=0，即(ax1-ax0+bx2-bx0+cx3-cx0，ay1-ay0+by2-by0+cy3-cy0)=0，

所以ax1+bx2+cx3-(a+b+c)x0=0，ay1+by2+cy3-(a+b+c)y0=0，

简证2 连接AO，作OD⊥AC交边AC于点D，如图2.设△ABC的内切圆半径为r，则OD=r.

=2+2cosA

因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，O(x0，y0)，所以(a+b+c)(x0-x1，y0-y1)=b(x2-x1，y2-y1)+c(x3-x1，y3-y1)，

故而(a+b+c)(x0-x1)=b(x2-x1)+c(x3-x1)，

(a+b+c)(y0-y1)=b(y2-y1)+c(y3-y1)，