用图思考求ω——从一道高考压轴题谈起

李定平

(广东省佛山顺德罗定邦中学 528300)

2016年新课标一卷理12题：

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(>0，|为f(x)的零点，为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在单调，则ω的最大值为( ).

A.11 B.9 C.7 D.5

本题作为选择题中的最后一题，也称选择压轴题，是区分度题高的题之一．它考查了y=Asin(wx+φ)的函数图象变化对参数A，ω，φ的影响，即考查了函数的单调性、对称性、周期性的综合运用，需要较高的综合能力，也就深受各地统考模拟题的青睐．一般思路是计算出来：

当ω=11时,11

故ω的最大值为9，答案选B.

本题实际上就是已知函数图象，求系数ω、φ，如果题型方法溯源的话，就是初中求函数解析式的方法——待定系数法(或代点法)，把已知点代入后得系数组成的方程组，解之得．这是一种基本数学方法．作为选择题中的压轴题，考试时像上面解法一样，中规中矩把它算出来当然好，可是，考场上有那么多时间吗？况且本身就是考查学生的综合能力，既然是考查函数图象，就可以用图象思考：

用图思考，三下五除二非常简洁地将ω求出来了，这不就是我们所要求掌握的思维方式吗？这也是我们数学学科的核心素养——直观想象．下面就求y=sin(ωx+φ)中的ω的题型分类例说．

一、已知两关键点(零点或对称轴)及在某区间单调求ω

说明：由两关键点之间画出单调区间的个数是解此题的关键．

解析为偶函数，f(0)=f(φ)=1，∵0<φ<，在上单调继续至M(如图3虚线)或拐至M(实线)，得到了函数的单调区间长度，计算得或ω=2.

说明：两自变量函数值相反，中间点就是零点，两自变量函数值相等，中间点就是对称轴．

二、由一个关键点及在某区间单调求ω

说明：在某区间单调，不能确定函数的单调区间长度，只能得到单调区间长度的一个范围，从得到ω的范围.

三、由函数在某区间单调求ω

四、由关键点确定增减区间

说明：重视“五点法”作图中五个点的相互位置及增减性．

练习:(为了巩固，给出几个练习供选用)

只有真正理解了y=Asin(ωx+φ)的图象特征才能灵活地解决它的图象问题，反过来灵活运用图象牲特征解题又能加深对三角函数图象的理解，提升我们的直观想象素养，在以素养导向的高考中取得优异成绩.