导数在经济管理领域中的最值问题应用浅析

陈杰

摘要：最值问题是导数在经济领域应用的一个重要方面，经济学研究者们研究的主体基本是围绕如何在最少的投入中产生出最大的收益，其中涉及到的“最少”和“最大”就是数学中的常说的最值问题。文章主要从最小平均成本、最大利润、最佳广告费支出、最佳存款利息以及最佳批量、批数等五个方面举例说明最值在经济管理领域中的简单应用。

关键词：最值问题;经济管理;导数;应用

最值问题在人们的日常生活与工作中都普遍的存在，如商业企业会制定一些促销措施、优惠手段、优化流通方案等，目的就是为了获得最大的利润。因此，任何企业都会根据自身的实际条件，以寻求优化方案作为目标，这也是当前企业经营管理中的中心命题。事实上，这些都是最值问题，即最大值与最小值的问题。下面，笔者主要通过一些具体的实例，介绍最值在经济管理领域相关方面的应用。

一、最小平均成本

在经济学中，总成本通常指生产某种品种或数量的产品所需要的全部经济资源的总价格或费用，由固定成本与变动成本构成。在数学中通常用符号来表示总成本，表示固定成本，表示可变成本，用表示产品的产量。在一定条件下，总成本=固定成本+可变成本，那么总成本函数可表示为;我们也会用来表示平均成本函数。在经济学中，也通常用成本函数的导数来表示边际成本函数，即生产前最后一个单位增加的成本。

例：某饮料生产加工企业生产某种饮品的成本（元）是日产量（吨）的函数，问日产量为多少时，才能使平均成本最低？

解：

令，得;由于

∴当日产量时，有最小平均成本

因此，该饮料生产企业日产量定为424吨时，能使平均成本达到最低130.97元/吨。

二、最大利润

企业经营生产的主要目的之一就是获取丰厚的利润，利润是收益与成本之差，一般记为。若用表示收入，表示成本，则利润，那么利润函数即可可表示为。这时对利润函数求导数，然后让导数等于零，即，通过化简可以得到，而这只是取得极值的一个必要条件，如果要使利润函数在这个条件下取到最大值，那么就必须有利润函数的二阶导数小于零，即。只有当以上两个条件都满足时，生产经营利润则能达到最大，这就是最大利润的计算方法。

例：设某白酒生产加工企业生产某款品牌白酒的生产成本（元）是月产量（瓶）的函数：，而目前市场上对该品牌白酒的需求（瓶）是单价（元/瓶）的函数：，白酒生产企业要根据该品牌白酒在市场上的需求来组织生产。试求：该白酒生产企业的月产量定为多少时，企业获取的利润为最大;并求出此时生产水平上的价格又是多少？

解：根据题目所给的已知条件，可以得到需求函数为，

即，从而可以得到收入函数为.

那么，利润函数

令，得

由于，而是的唯一驻点，而且是极大值点。

所以当该品牌白酒月产量定为29瓶时，白酒生产企业可获得最大利润，此时价格为元。

三、最佳广告费支出

在企业的生产经营销售过程中，为了增加销量，常用的促销手段之一就是投放各类产品宣传广告，这也是目前被很多企业所采用的提高销量方式之一。如何精准地投放广告，寻求最佳广告开支是当前企业亟待解决的问题。

例：某化妆品公司研发了一款新的唇膏，为了提高改唇膏在区域范围内的知名度，增加销量，在网络媒体上进行了适当的广告宣传。若该新唇膏的利润为100元，每月的广告费支出的平均值为元，如果设销售量是广告费的函数，且，其中，求要使该新唇膏获得最大的利润，那么最佳的广告支出是多少元？

解：设该新唇膏的纯利润函数为

则通过对利润函数求导得到

令，可以得到，解得（元）

通过对利润函数二次求导得：，得到，由于纯利润函数存在唯一极值点，那么这个唯一极值点就是极大值点。

所以，当每月广告费支出为元时，该新唇膏的利润取得最大值，（元），所以，当广告费每月支出为599元时，可以使该产品达到最高纯利润39 301元。

四、最佳存款利息

目前，商业银行业务的开展主要有两个方面，一是吸收存储现金，二是利用资金进行投资。商业银行一般会根据资金投资的收益来决定某项存款服务的利息，最重要目的就是使获得的收益最大。

例：某商业银行拟发行一款固定期限基金产品，假设获得的资金量与基金收益成正比，经过市场调研，通过获得资金进行投资的收益约为，那么该款基金产品在对外宣传时收益率定为多少才能使投资获得的收益最大。

解：设基金产品的收益率为，获得的资金总额為，由题意可知，与成正比，则（为正常数），若使用资金进行投资的总额为，则投资获得的收益为，而这笔投资资金要付给基金购买人的收益为，因此进行投资获得纯收益为;

令，即，得，

且（），即驻点是的唯一极值点，而且是极大值点。

因此，当该款基金产品的收益率定为时，可获得最大的投资纯收益。

以上只是理论上的投资纯收益，在具体的银行业务中，投资的收益会受到很多方面因素的影响，从而也影响函数客观性。

五、最佳批量和批数

企业为了保证生产的正常运行，都会根据生产任务提前采购生产所需的原材料，那么就会遇到如何使订单手续费用跟保管费用最少的问题，即最佳批量与批数问题。

例：某企业每年生产某种产品需要甲原料吨，每次购买甲原料的手续费为元，而该甲原料每吨的库存保管费用为元，问在该产品均匀生产的条件下（即甲原料的平均库存数为批量的一半），该企业分几批购进甲原料能使订单手续费与库存费最少？

解：设甲原料订购批数为时总费用为元，则可得：

令导数等于零，即，得驻点

又因为二阶导数，所以当时，又因为存在唯一驻点，所以取得的极小值即实际问题的最小值。

因此，该企业应分为批购进可使采购甲原料的手续费及库存保管费之和最少。

在本例中，通过批数可算出批量为，这就是最佳进货量，经济学中称之为最佳经济批量。

随着科学经济的不断发展，数学作为一门基础学科已经广泛应用到政治、经济、文化等各个领域。导数求最值的问题应用颇为广泛。在经济管理领域的相关研究中，如何用最少的投入来获得最大的收益是经济学者们研究的主要内容。诸多的应用为导数在经济管理领域中的应用提供了更广阔的研究舞台。■

参考文献：

[1]曹令秋.经济数学[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[2]杨桂元.经济数学基础[M].北京：中国物资出版社，2007.

[3]江勇.例析导数在经济领域的最值问题[J].大众科技，2011（9）：34-35.

作者简介：陈 杰，男，汉族，江苏丹阳人，苏州旅游与财经高等职业技术学校教师，主要从事数学教育教学研究。