关注基本图形?发展空间观念

银集

摘 要：线段垂直平分线性质的学习对学生的空间观念有一定的要求，在教学中，利用线段垂直平分线基本图形，根据学生认知规律，按层次铺设脚手架，引导学生拾级而上，从而达成让学生理解线段垂直平分线基本图形、从较复杂图形中分离出基本图形、构造线段基本图形来解决问题的教学目标。

关键词：线段垂直平分线;基本图形;空间观念

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 收稿日期：2019-12-06 文章编号：1674-120X（2020）16-0053-02

一、教学设计与思考

“线段垂直平分线性质”是新人教版数学八年级上册第十三章第二节的内容。本节重点是线段垂直平分线定理，定理是证明两条线段相等的依据;本节难点是线段垂直平分线性质的灵活应用。

本节课主要采用探究式教学模式。提出问题让学生想，设计题目让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳。教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人。具体如下：①在回顾轴对称图形的基础上引入垂直平分线的定义，由学生感兴趣的游戏入手，把生活问题转化成数学问题，让学生探究解决问题，并完成证明，最后，由学生将上述过程用文字的形式进行归纳，即得出线段垂直平分线定理。探究式教学使学生克服思维惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程真正做到心领神会。②采用“类比”的学习方法，让学生说出线段垂直平分线性质与角平分线性质的相同和不同之处，加深学生对点到点的距离的理解。下文中例1利用线段垂直平分线的基本图形可直接获得结论，鼓励基础较差的学生完成，获得成功体验;例2是例1的变形，需要在较复杂图形中准确找到线段垂直平分线的基本图形才能解决问题;例3是例2的升级，学生可构造线段垂直平分基本图形去解决问题。此三题层层递进，多角度多层次地加深了学生对线段垂直平分线基本图形的理解与认识。

二、教学过程

（一）创设情境，引入新课

上节课我们共同探讨了轴对称图形，那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

如图1，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对称点，线段AA'，BB'，CC'与直线MN有什么关系？

设AA'交对称轴MN于点P，将△ABC和△A'B'C'沿MN对折后，点A与A'重合，于是AP=A'P，∠MPA =∠MPA'=90°。所以AA'、BB'和CC'与MN的关系除了垂直，MN还经过线段AA'、BB'和CC'的中点。

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。

【设计意图】复习上节课学习的轴对称图形并引出线段垂直平分线的定义，强调垂直且平分这一条件，避免学生理解错误。

（二）探究新知

活动1：小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼物的游戏，问：礼物放在何处游戏才公平？

问题：①你能否把上述问题转化成数学问题？②你认为礼物应该放在哪里？③如何快速准确地找到满足条件的所有的点？

如图2，作线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3…，连接AP1，AP2，BP1，BP2，CP1，CP2…

问题：①你能不能用自己的语言表述你的发现？②你能否用数学语言表述你发现的规律？

探究结果：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，即AP1=BP1，AP2=BP2…

【设计意图】学生的空间知识来自丰富的现实原型，创设学生熟悉的现实问题情境是发展学生空间观念的有效策略。此环节的目的是引导学生从现实情境中抽取空间图形;再从复杂图形背景中分解出简单的、基本的图形。

活动2：如图3，已知直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为点C，P是直线l上任意一点。

求证：PA=PB。

证法一：利用全等三角形性质。

∴?APC≌?BPC

∴PA=PB

证法二：利用轴对称性质。

由于点C是线段AB的中點，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的。

总结归纳

（1）知识的角度。线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。用几何语言可以表示为：

∵l是AB的垂直平分线， 点P为l上的任意一点（已知）

∴PA=PB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）

（2）方法的角度。证明两条线段相等多了一种比利用三角形全等性质更直接的方法。同时，线段垂直平分线性质反映的是平面中一种简洁的轴对称图形。

【设计意图】对定理的学习，目的是让学生养成画示意图的习惯，并分析基本图形中的基本元素及其关系。对基本图形的理解利于学生掌握概念、寻求解题思路，同时也能让学生体会到定理在后续应用中的重要性和学习的必要性。

思考：线段垂直平分线性质与角平分线性质有什么相同与不同之处？请画图说明。

【设计意图】类比角平分线性质和垂直平分线性质的异同点，用图示的方式理清概念内涵与外延之间的关系，让学生明白线段垂直平分线性质指的是点到点之间的距离关系。

（三）典例分析

例1  如图4，已知DE是线段AB的垂直平分线，若AE=7，则BE=_________ 。

【设计意图】理解基本图形，并初步运用线段垂直平分线性质解决实际问题，本题是易题，鼓励基础差的学生完成，也是为以后的学习作铺垫。

例2  如图5， 在△ABC中，AB=16，DE是线段AB的垂直平分线，△BEC的周长为26，求BC的长。

问题：①图4和图5有什么联系？②你认为哪一个条件是解本题的关键？③图中有相等的线段吗？依据是什么？

【设计意图】检验学生从较复杂的图形中分解出线段垂直平分线的基本图形的能力，引导学生在比较中发现基本图形不同的形态，从而巩固对线段中垂线性质的理解。

例3  如图6所示，在△ABC中，点D为线段AC的中点，DM⊥BC，延长BC到E，使得ME=BM，若∠E=∠CDM，试判定△ABC的形状，并说明理由。

问题：①猜想△ABC是什么三角形？②如何判定三角形的形状？③本题的关键条件是什么？④图中有线段垂直平分线基本图形吗？如果没有怎么解决？⑤还有其他办法证明AB=BC吗？你认为哪种办法更简便呢？

【设计意图】本题是例2的升级，让学生构造线段垂直平分线性质的基本图形来解决问题，加深对线段垂直平分线性质的认识，引导学生从多角度认识基本图形及其性质，同时让学生认识到利用线段垂直平分线性质证明两条线段相等比利用三角形全等性质更直接。

（四）作业设计

（1）如圖7所示，l是线段AB的垂直平分线，则PA=          ，理由是_________________。

【设计意图】回顾线段垂直平分线的性质，巩固对基本图形的认识。

（2）如图8所示，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？

【设计意图】匹配例2，当堂训练，当堂反馈，巩固提升。

（3）如图9所示，在△ABC 中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，求证：PA=PB=PC。

【设计意图】匹配例3，检验学生能否灵活运用线段垂直平分线的性质。

（五）课堂小结

（1）小结问题：请画图并用几何语言解释“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的定理。

（2）谈谈本节学习的收获，说说本节学习的难点，想想本节学习中未解决的问题。

本节课旨在发展学生的空间观念：第一，从生活实际中抽象出几何图形，通过语言描述、归纳猜想、画图操作、推理证明等一系列活动，以及“三种语言”之间的相互转化，多角度理解基本图形，形成图形认识，发展学生的空间观念;第二，本节课在例题的选择上遵循学生认知规律，分“直接应用基本图形”“从复杂图形中分离出基本图形”“构造基本图形”三个层次，逐步发展学生的空间观念。

总之，教师应以学生已有的经验与知识为基础，强调基本图形意识，培养和发展学生的空间观念，建立几何直观，达到发展学生思维、促进学生技能提高的目的。

参考文献：

[1]吴增生，刘 燕，刘智昊.几何直观及其在数学教学中的合理应用[J].中国数学教育，2016（11）：41-45.

[2]苏兴震.关注基本图形 着眼知识生长——以“相似三角形的复习”为例[J].中国数学教育，2017（21）：36-39，43.