数学解题的最后环节

宗丹

摘 要：解数学题分为弄清题意、拟定计划、实现计划、回顾与反思四个步骤，其中回顾与反思具有重要的作用，它既可以帮助记忆，培养良好的思维品质，又是总结、归纳、创造、提高的过程。

关键词：回顾 反思 解题

波利亚把解题分成四个步骤，分别是弄清题意、拟定计划、实现计划、回顾与反思，而回顾与反思，是我们在学习中最容易忽视的一步。一般情况下，我们往往热衷于大量做题，而不善于在解题后对题目进行回顾与反思。这样就失去了通过解题实现有效积累和提高的最好机会。回顾与反思具有以下重要作用：

一、回顾与反思有助于对数学概念与数学解题规律的记忆

记忆是学习的一个重要组成部分， 没有记忆无所谓学习。

首先我们通过回顾与反思可帮助我们对数学概念的记忆。

数学概念一般都有明确的数学语义，比较抽象，单靠死记硬背掌握这些概念有一定的困难。利用解题的回顾与反思，可以加深对概念的认识，促进对概念的掌握。

其次我们通过回顾与反思可以提高对数学解题规律的记忆。

常常会听到学生抱怨说：“某种类型的题以前做过了，考试时还是做不出来”。如果我们在平常的解题中，注意回顾与反思，这种情况就会有所改善。即在解题后，对解题方法进行归类、总结、寻找解题规律。在以后遇到同类型问题时，就能做到概念清，思路明，方法简，速度快。

二、回顾与反思有利于培养学生良好的思维品质

发展学生的思维能力是数学教学的重要目标，而回顾与反思为思维训练提供了场所。

通过解题的回顾与反思使学生的思维可以在以下几个方面得到发展：

1.回顾与反思发展思维的广阔性

数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题途径繁多，但最终却能殊途同归。解完题后不能就此罢手，如释重负。应该进一步反思，探求一题多解，多题一解，开拓思路，沟通知识，掌握规律，比较分析解法的优劣，在更高层次上，更富有创造性地去学习、摸索、总结解题经验，使自己的解题能力更胜一筹。

2.回顾与反思训练思维的深刻性

数学知识是解决数学问题的基础。探寻知识点间的联系是解题思维的重要出发点和解题思维活动过程的重要方面。 解题过程能有效展示知识点间的联系。通过对解题所用到的知识点的回顾与反思，寻找知识之间的“交汇点”，理清由知识点形成的“知识链”，能使我们加深对数学知识间关系和联系的理解，逐步从纵向和横向形成知识网络，扩充知识结构，并在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”， 形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系， 促使解题活动中的知识点产生“连锁反应”的效应。

3.回顾与反思锻炼思维的敏捷性

在解决数学问题的过程中，如何破题是关键，即如何选择思维起点。一个问题引发的思维起点是多向的。良好的思维起点是思维素质的重要组成部分。反思与回顾思维起点，总结破题策略是提高学生发散思维能力和收敛思维能力的重要途径。

例：已知二次函数=ax2+bx+c的图像过点（-1，0），是否存在a，b，c，使不等式对一切实数x都成立。若存在，求出a，b，c，若不存在，说明理由。

解：假设存在这样的符合条件的a，b，c，由的图像过（-1，0），可得a-b+c=0，因为对一切实数x都成立，所以令x=1可得a+b+c=1，则b=1/2，a+c=1/2，即=ax2+1/2x+1/2-a，有ax2-1/2x+（1/2-a）≥0（1），（a-1/2）x2+1/2x-a≤0（2）

当a=0时，由（1）知x≤1不符合题意，所以a>0且△≤0即a=1/4，将a=1/4代入（2）得x2-2x+1≥0的解集为R，所以存在满足条件的a，b，c，a=c=1/4，b=1/2。

回顾与反思：（1）本题把满足题目中的条件使不等式“对一切实数x都成立”作为思维的起点。

（2）在本题中，令x=1是关键的破题步骤，是思维起点的延续。通过将x=1代入上不等式得到a+b+c=1可使问题简化，这种在一般规律中以适当的特殊值代入，是解决函数问题的重要方法之一。

上述反思（1）是提炼此题思维起点，反思（2）是总结破题策略。通过反思，使我们学会如何选择思维起点，积累破题经验和规律，培养思维的广阔性。

4.回顾与反思展现思维的批判性

通过回顾与反思既可以检验答案正确与否，又可以判断方法的优劣。

例：求过点P（1，2）与圆C：x2+y2=1相切的直线方程。

分析：一般解法为：设过点P的直线方程为y-2=k（x-1），因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离，从中可解出，故所求直线的方程为。

反思解题结果我们会发现，经过圆外一点向圆作切线应该有两条，而上面的解法为何只求出一条呢？问题就出在解题过程的不严密。当所求直线的斜率不存在时，就不能把直线方程设为y-2=k（x-1）的形式。本题正确答案是：所求直线方程为和通过对解题结果的反思与回顾，一方面可以确保答案准确无误，另一方面也可以强化审题环节，逐步使学生养成良好的解题习惯，提高数学解题能力。

三、回顾与反思是理性化的过程

解题中回顾与反思是一种重要的学习形式， 如果把求解过程比作实践，那么回顾就是总结、归纳、创造、提高的过程，是理性化的过程。通过解题后的回顾與反思， 我们可以检验解答的正确性，寻求错因并及时纠正;可以尝试改进解题思路，使已有的思路更清晰，更合理，更易接收;可以总结解题方法，挖掘解题规律，使我们能更好地理解解题思路，并能抽象、概括所涉内容，领悟数学思想;可以发现新的有趣的事实及方法，有助于解题能力的提高。

结语

我们在解题学习过程中，要养成有意识地自己提问，并不断回答的习惯，久而久之，就能提高回顾与反思的能力。由于数学学科的抽象性，数学活动的探究性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了我们不可能轻松地掌握数学活动的本质，必须要经过多次反复探究、深入思考、自我回顾与反思才能洞察数学活动的本质特征。同样数学解题反思能力的培养和提高也要经历一个不断反复、螺旋上升的过程，不可能一蹴而成，要在解题活动中自觉自愿地进行回顾与反思，逐步形成反思的意识和习惯，进而提高解题的综合能力。

参考文献

[1]陈仁胜.运用解题反思，优化数学思维能力[J].数学通报，2002，（09）：26-29.

[2]罗增儒.解题反思二则[J].中学数学教学参考，2001，（11）：36-38.

[3]汤维曦.培养反思能力，优化思维品质[J].福建教育学院学报，2006，7（1）：90-93.