结构化视角下的运算能力培养

纪婷婷

摘  要：曹培英教授曾指出：“在数学学习中，通过计算能促进、加深对所学数学知识的理解，发展数感，提升思维品质。贯穿小学数学课程学习的主线是整数、小数、分数的计算，其他数学知识都必须跟随这根主线的进程穿插、展开。”

关键词：结构化;视角;运算

【中图分类号】G623.5    【文献标识码】A       【文章编号】1005-8877（2020）19-0040-02

在教学实践中，如何沟通整数、小数、分数的加减法的运算间的联系，帮助学生建立结构化体系，培养学生的运算能力？本文以《同分母分数的加减法》的教学为例，从以下四方面来谈：

1.瞻前顾后，找准计算的“基石”

一直以来，在学生眼里，分数的加减法运算有别于整数加减和小数加减，从算法上，更是看不出有什么太大的联系。而深究下去，就会发现，之所以能进行加减计算，全部依托于对相同的计数单位进行数量上的求和或求差。在学习分数加减法之前，学生已经对整数加减以及小数加减非常熟悉，沟通三者的桥梁正是计数单位。为了让学生找到这一共同点，笔者认为在课始复习什么是分数单位就显得非常重要。这是为后续算理的理解以及算法的掌握做铺垫，也将在整节课的教学中贯穿始终，为凸显三者的联系穿针引线。

例如，教学《同分母分数的加减法》这一课时，开门见山的问：2/9里有2个（ ），5/9里有（ ）个1/9，7/9里有（ ）个（ ）。再把2/9，5/9，7/9单独列出来，请学生观察这组分数有什么共同特点？学生很容易从表象中发现分母相同。教师先介绍像这样分母相同的分数叫做同分母分数。再进一步追问：分母相同，也就是什么相同？让学生自然而然想到分母相同也就是分数单位相同。把分数单位的概念扎根在学生的脑海里，让学生意识到同分母分数的本质是分数单位相同的分数，也为后续帮助学生揭示分数单位也是一种计数单位提供一个契机。

在计算教学中，学生往往记住了算法，而忽视了算理。学生大多是会算却不知其理。在与之前整数、小数的加减法的对比中，笔者发现有必要从计数单位入手。而导入环节中，直接通过填空来唤醒学生对分数单位、计数单位的认知，找到计算的本质，为结构化教学埋下“种子”。

2.承上启下，沟通法理的“桥梁”

在计算加减法的教学中，教师通常采用“教师创设情境→学生提出问题→独立思考算法→反馈交流算法→自主选择算法→师生共同提炼算法”的标准，但是并不是所有计算都适合多样化，或者说在算法多样化之后，笔者认为，先让学生主动参与探究问题，主动思考问题，采用优化算法的方式，让学生从不同的算法中对比，寻根朔源，找到这些算法的共同之处，从而在概括总结中感悟算理，提炼算法：分母不变，只把分子相加减。而实际上学生脑海中计算的是相同计数单位的数量。

例如，出示情景图，小刚和小兰在分巧克力吃。小兰吃了这块巧克力的3/8，小刚吃了这块巧克力的1/8，让学生自主探究两人一共吃了这块巧克力的几分之几这个问题。学生有用圆，或用长方形，或用一条线段当做单位“1”等画图方式来说明，还有用文字法来说明。教师适时引导学生发现方法虽然各不相同，但是都表示同一个意思：1个1/8加 3个1/8是4个1/8，也就是4/8。这样就回归到计算的本质。再通过观察算式，引导发现这里的分母不变，分子变了，分子由1+3得来。从而得出结论：分数单位一样，就是计数单位一样，只把计数单位的个数相加。同分母分数的减法也是依次类推。让学生从中归纳出算法：分母不变，只把分子相加减。

通过放手让学生探究，让学生回归到课堂的主体地位，学生从探究中，能更深刻的体会到表面上“简单”的同分母分数加减法计算，其实并不简单。学生在实践操作中，感悟到算理。再从多种说明方法中，比较发现到方法虽然不同，但是本质是一样的，虽然方法很多，但都指向了一个最简便的算法正是“分母不变，只把分子相加减。”同分母分数的加法都是把几个相同分数单位的数合并成一个数，而减法也是依次类推。学生在探究中，找到了知识的生长点，不止会算，还知道怎么算，在明白算理之后，再归纳出算法。促进结构化教学“生根”。

3.横纵对比，构建方法的“框架”

比较有助于沟通知识间的联系，有了前面的过渡之后，学生已经能较好的理解算理，掌握算法。但这只是对于分数加减法这部分知识而言，怎么把这种看似新的加减计算与以前学过的整数加减法、小数加减法进行系统化，结构化的处理？就有赖于对三者进行结构化的比较。所以笔者特别设计习题，不止有正向思考，还有逆向思维，从符号化的角度强化算理，同时，由于整数、分数四则运算是进一步学习整式、分式运算的基础，所以利用符号化的处理，引导学生进行适当拓展是很有必要的。

例如，习题中，设计由浅入深的习题。第一层次是（）-1/13=12/13，7/5+（）=13/5，8/9-（）=3/9这样的问题，引导学生沟通加减法之间的联系，紧接着出示第二层次练习：3/△+14/△=（），11/☆-6/☆=（），☆/△+□/△=，利用图形来替换数字，紧接着出示第三层次习题：b/a+c/a=（），b/a-c/a=（）（△，☆，a都不为0）这样的习题，从数字过渡到符号，再过渡到用字母表示的数。除了渗透符号意识以外，再通过问题“从最后两个算式中，你想到了哪一句话呢？”学生自然想到了“分母相同，分子相加减”本质还是想让学生发现，不管是什么样的分数加减计算，实际是把相同计数单位的个数相加减。也达到强化算法的目的。

这组习题的设计，由简单的，能一目了然的计算，让学生对比出，分数的加减法和以前学过的整数、小数加减法的意义一样。减法算式中，被减数可以利用减数加差来求，减数可以利用被减数减差来计算。加法算式中，加数可以利用和减另一个加数来得到结果。这样的习题设计不止有基础练习，还有提高练习，引导学生逐步从特殊例子过渡到一般情况，使学生逐步适应符号化的过程，也把符號与算理结合起来。用符号来强化文字算理的记忆。这样的对比，使结构化教学在潜移默化中“发芽”。

4.系统梳理，形成知识的“体系”

通过梳理知识脉络，帮助学生回顾旧知，掌握新知，并实现知识的再次迁移，有助于学生的主动构建。那么，如何帮助学生找到分数加减法与整数、小数的加减法之间的共同点，让学生将所学的这些看似零散的知识进行串联，构建知识网络，以点带面，更好地提高运算能力，促进思维提升，就显得尤为重要。在数的加减运算中，这个共同点，正是前文提到过的计数单位，而算理中也有它的身影。所以设计问题来引导学生进行思考，就能帮助学生自主的梳理这些知识点。

例如，在小结部分，让学生思考此次学习的同分母分数加减与之前的整数、小数加减之间有什么联系呢？在学生思考与交流后，通过一组算式4+3，04+0.3，4/8+3/8引导学生观察思考，从中学生很容易发现，看似不同类数相加，它们的计算方法却有着相同之处。其实第一组算式中，心里都想4+3=7;教师再次追问，为什么心里算的都是7，结果7，0.7，7/8到底不同在哪里呢？学生自然就发现其中的不同就是因为计数单位的不同。同样的，减法也是如此。这样就顺利沟通了这些知识之间的联系：不论是整数、小数还是分数相加减，都是在把相同计数单位的个数相加减。

通过这样看似简单的一个小结，确充分利用之前的教学环节，一环紧扣一环，层层铺垫，提纲挈领地把握住了不同类数进行加减法运算时的本质，让学生从回顾、反思中，自主自发地进行深度思考，通过这样一个对知识进行结构化教学的过程，不止是让学生把书读“薄”了，而且拓展学生的视野，让学生能够从结构化的角度来审视自己学过的知识，提高了学习的广度，高度以及效度，使运算能力的培养在结构化视角下“开花结果”。

综上所述，作为教师，应发展自己的全局观念，把握数学学科的结构，纵观全局，找到知识间的上下，前后间的关联，让看似零散的知识点串成线，形成结构化体系，沟通知识间的内在联系，组建知识的网络，引导学生勤学善思，通过外化促进内化，引领学生与老师做到“同频共振”，逐渐走向深度学习。