基于齐次线性方程组的解在环上的应用

庞 峰

(山西警察学院，山西 太原 030401)

0 引言

数学是一门不断发展的学科，而关于线性方程组和环的内容是高等数学的重要组成部分[1].在以往的教学中，线性方程组的系数及其解都只是在实数域上讨论的.赵廷芳等人通过线性方程组唯一性原则，求解出实数域R上的最小解[2].李大林等人利用部分等式补充固定线性方程组的方式，求解实数域上亏损矩阵的广义特征矩阵，得到最优解[3].实数域是一类特殊的环，可以把它推广到以Zm表示模m的剩余类环上来进行研究[4]，并把得到的结论与高等代数中的一些性质定理做比较，发现它们的差异之处.郑千里通过消法变换实现了整系数线性方程组的求解方法及判定条件[5].本文利用齐次线性方程组求解的方法应用到环求解中，拓宽环求解方法的实用性.其中Zm表示模m的剩余类环.Zmn×n表示的是模m的剩余类环上的n×n阶矩阵.其他的表示都是标准的数学表示.

1 线性方程组的定义及定理

定义1一般线性方程组

(1)

x1，x2，…，xn代表n个未知量，s是方程的个数，aij(i=1，2，…，s，j=1，2，…，n)称为方程组的系数，bj(j=1，2，…，n)称为常数项.以后也可以用AX=B来表示，其中：

定义2所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1，k2，…，kn组成的有序数组(k1，k2，…，kn)，当x1，x2，…，xn分别用k1，k2，…，kn代入后，方程组中的每个等式都变成恒等式.

定义3在一般线性方程组中，当b1，b2，…，bs全为0时，

(2)

此时方程组(2)叫做齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.

定义4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

引理1矩阵的秩用r表示，如果齐次线性方程组(2)的系数矩阵

当矩阵A的秩r

定义5一个集合R叫作一个环，假如

1)R是一个加群；换句话说，R对于一个叫作加法的代数运算来说做成一个交换群；

2)R对于另一个叫作乘法的代数运算来说是闭的；

3)这个乘法适合结合律：a(bc)=(ab)c，不管a，b，c是R的哪三个元；

4)两个分配率都成立：a(b+c)=ab+bc，(b+c)a=ba+ca，不管a，b，c是R的哪三个元.

显然，全体整数做成的集合对于普通加法和乘法来说做成一个环.

定义6若在一个环F里.a≠0，b≠0但ab=0，即a是一个左零因子，b是一个右零因子.

定义7一个无零因子环R的非零元的相同的(对加法来说的)阶叫作R的特征.

定义8A={…，-2，-1，0，1，2，…}，取一个固定的整数n>0，利用这个n，规定A的元间的一个关系R，aRb，当且仅当n|a-b的时候，这里符号n|a-b表示n能整除a-b.

注：任意一个整数一定与0，1，…，n-1这n个整数中的一个同余；另一方面，0，1，…，n-1这n个整数中的任意两个整数都不同余.因此存在n个不同的剩余类；

[0]={…，-2n，-n，0，n，2n，…}

[1]={…，-2n+1，-n+1，1，n+1，2n+1，…}

⋮

[n-1]={…，-n-1，-1，n-1，2n-1，3n-1，…}.

定义9R={所有模n的剩余类}.替R规定一种加法[a]+[b]=[a+b]，并且知道R对于这个加法来说做成一个加群.现在再替R规定一个乘法：规定[a][b]=[ab].模n的剩余类是由整数间的等价关系a≡b(n)来决定的.若是[a]=[a′]，[b]=[b′]，那么由等式ab-a′b′=a(b-b′)+(a-a′)b′，容易证明[ab]=[a′b′]，因此R做成一个环.这个环叫作模n的剩余类环.

在高等代数的定义中，域上的最大公因子是唯一的.但在环上，按相同的定义得到的最大公因子就不一定是唯一的.由此在模m的剩余类环Zm上引入了下面定义：

定义10设元a1，a2是Zm中的任意两个因子，Zm中的元b称为a1，a2的一个最大公因子，如果它满足下面三个条件：

1)b是a1，a2的公因子；

2)a1，a2的公因子能被b整除；

3)b是环里代表元中大于零的最小整数.

2 齐次线性方程组在环上的应用

2.1 零因子环中的方程组

有单位元的交换环.不妨记这类环为模n的剩余类环，其中n为合数.当方程组在实数域中讨论时，方程组的系数矩阵是满秩矩阵时，它只有零解.而在这类环上讨论时，线性方程组不一定只有零解，它还有可能出现非零解.例如：

设方程组

在Zm中，因为元素的代表元都是整数，所以以下方程组若称其有解，指的是它有整数解，有以下结论成立：

证明 把xΤ=(k1[x0]，k2[x0]，…，kn[x0])Τ直接带入方程组的第i行，由于r是Zm的零因子，可设bij=aij/r(j=1，2，…，n)，则有

ai1k1x0+ai2k2x0+…+ainknx0=r(bi1k1x0+bi2k2x0+…+binknx0)=k1bi1(rx0)+k2bi2(rx0)+…+knbin(rx0)=0(i=1，2，…，n)

所以xΤ也是AX=0的解.

1)(k1[x0]，k2[x0]，…，kn[x0])Τ是AX=0的解，其中k1，k2，…，kn∈z；

证明 首先把方程组

(3)

转化为代数方程组

又因为r(A)=n，

所以方程组(3)有解.

由克拉默法则可得x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D，其中Dn是把矩阵A中第n列换成方程组的常数项所构成的矩阵行列式，D为系数矩阵的行列式.

(4)

将(4)转化到环上为：

由于r=([a11]，[a12]，…，[ann])∈Zm，不妨记aij=rbij，所以

成立.

又因为 [r][x0]=[0]，

(5)

可知方程组的最大公因子为[3]，由模n的剩余类知[3][8]=0，由定理1知方程组(5)的解都可以写成(k1[8]，k2[8])Τ的形式.而[8]=[2][4]，由定理2知

都可能是方程组的解，但是经过验证，

不是方程组的解，只有(k1[4]，k2[4])Τ和(k3[8]，k4[8])Τ是方程组的解，其中k1，k2，k3，k4∈z，且k1，k2同为奇数或同为偶数.

2.2 无零因子环中的方程组

一般来说，这类有限环的阶数可以是合数，此时，该环的特征是整除该环的某个素数.如存在15阶的无零因子环，它的特征为3或5，但阶为合数的无零因子环很难直接用数字表示，因此，例子中的无零因子环都是素数阶的.不妨用模p的剩余类来表示，p为素数，而对应的方程组系数可以在整数中取，解在模n的剩余类环中取.这两类无零因子环及其方程组的解有相同的性质.

若方程组的系数矩阵是满秩矩阵，则方程组只有零解.但方程组在环上讨论时，则不一定只有零解，它也还有可能出现非零解.

例Z5表示模5的剩余类，它包含有

{[0][1][2][3][4]}

虽然

其中k1，k2，…，kn为常数.则任取第i行的一个方程有：

ai1[k1s]+ai2[k2s]+…+ain[kns]=rbi1[k1s]+rbi2[k2s]+…+rbin[kns]=

bi1k1[rs]+bi2k2[rs]+…+binkn[rs]=[bi1k1]pn+[bi2k2]pn+…+[binkn]pn=0+0+…+0=0

证明 首先

(6)

可转化为线性方程组

又 因为r(A)=n，

所以方程组(6)有唯一解.由克拉默法则x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D，其中Dn是把矩阵A中第n列换成方程组的常数项所构成的矩阵行列式，D为系数矩阵的行列式.

(7)

将(7)转化到环上为:

由于p是F的特征，r是最大公因子，且

aij=rbij，

所以存在任意

使得

又因为rs=np,

注 1)由于定理4中讨论的环是特征为素数阶的，而特征是合数的环是比较复杂的，所以就不做与之相对应的例子.

2)从定理1和定理3两个定理也可以看出，在高等代数中，对于齐次线性方程组来说，r(A)=n时，方程组只有零解，但把它推广到环上就不一定只有零解.它还会有非零解.

3 结论

本文在环的基础上，在更大的范围内对线性方程组的解进行讨论.不管是对于环中有零因子还是无零因子来说，它和高等代数里所学习的齐次线性方程组都有很大的区别，这将为线性方程组求解方法的应用提供重要理论基础.