一类分数阶积分边值问题非平凡解的存在唯一性

刘宏伟

(太原学院 应用数学系，山西 太原 030001)

0 引言

控制理论、生物医学、电路学等相关学科的很多现象都可以用分数阶微分方程边值问题来描述并求解[1-11].在这些研究中，主要用Guo-Krasnosel’skii不动点定理、锥理论等方法研究了解的唯一性、存在性与多重性问题.文献[12]研究了以下积分边值方程

(1)

利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理，得到了方程存在唯一正解的充分条件.

文献[13]研究了Ph，e集合上的分数阶两点边值问题

(2)

利用混合单调算子的不动点定理，得到了方程存在唯一非平凡解的结论.

本文研究以下非线性分数阶微分方程：

(3)

相较于已有文献，本文具有以下特征：

1)当a=0，且f(t，u(t)，u(t))=f(t，u(t))时，方程(3)退化为方程(1).

2)本文研究的非线性项f(t，u(t)，u(t))具有混合单调性，而且方程中常数a>0，此时集合Ph上混合单调算子不动点定理无法求解；而本文应用混合单调算子不动点定理获得了集合Ph，e上当a>0时的非平凡解存在唯一性结论，推广和改进了已有文献中相关结论.

1 预备知识

文章用到的基本概念和引理如下：

定义1[8]称P是正规锥，若存在常数N>0，使得：对x，y∈E，θ≤x≤y，有‖x‖≤N‖y‖.

定义2[8]对于x，y∈E，符号x～y表示存在λ>0和μ>0使得λx≤y≤μx.显然，“～”是一个等价关系.对于h>θ(即h≥θ且h≠θ)，定义集合Ph={x∈E|x～h}.显然Ph⊂P.

定义3[8]取h>θ(即h≥θ且h≠θ)，取e∈P，且θ≤e≤h，定义集合Ph，e={x∈E|x+e∈Ph}，即：

Ph，e={x∈E|∃μ=μ(h，e，x)>0，ν=ν(h，e，x)>0，使得μh≤x+e≤νh}.

引理1[14]若x∈Ph，e，那么当λ>0时，λx+(λ-1)e∈Ph，e.

引理2[14]若x，y∈Ph，e，则存在r∈(0，1)使得：

ry+(r-1)e≤x≤r-1y+(r-1-1)e.

引理3[15]令2<α≤3，0<β<α，y∈[0，1]，那么以下边值问题

(4)

有唯一解u∈C1[0，1]，

其中

(5)

引理4[14]格林函数G(t，s)有如下性质:

1)G(t，s)≥0；

引理5[15]已知P为正规锥，假设算子T:Ph，e×Ph，e→E是混合单调算子，并满足以下条件：

(L1)存在h∈E，e∈P，θ≤e≤h，h≠θ满足T(h，h)∈Ph，e；

(L2)∀u，v∈Ph，e，∀λ∈[0，1]，∃φ(λ)>λ，使得：

那么：

1)存在u0，v0∈Ph，e使得：

u0

2)T有唯一不动点x*∈Ph，e.

3)对任意初值x0，y0∈Ph，e，构造序列

xn=T(xn-1，yn-1)，yn=T(yn-1，xn-1)，n=1，2，…，

当n→∞时，有：xn→x*，yn→x*.

2 主要结论

令E=C[0，1]={x:[0，1]→连续}，则E为Banach空间，其上范数‖x‖=sup{|x(t)|:t∈[0，1]}，以及半序关系为x，y∈C[0，1]，x≤y⟺x(t)≤y(t)，∀t∈[0，1].

令P={x∈C[0，1]|x(t)≥0，t∈[0，1]}，P是E中一个正规锥且正规系数为1.定义集合Ph={x∈P|∃ζ，η>0，ζh(t)≤x(t)≤ηh(t)，t∈[0，1]}，Ph，e={x∈E|x+e∈Ph}.

取

(6)

其中，G(t，s)在(5)中已给出.显然由G(t，s)的非负性和a>0可知e(t)≥0，进一步，令：

h(t)=Mtα-1，∀t∈[0，1]

其中，

(7)

由(6)和(7)知：

0≤e(t)≤h(t)即θ≤e≤h，显然h∈Ph，e.

Ph，e={x∈E|∃μ=μ(h，e，x)>0，ν=ν(h，e，x)>0，使得μh≤x+e≤νh}.

定理1假设

(H1)f:[0，1]×[-e*，+∞)×[-e*，+∞)→(-∞，+∞)是连续的，其中e*=max{e(t):t∈[0，1]}； (H2)f(t，x，y)关于x∈[-e*，+∞)增，关于y∈[-e*，+∞)减；

(H3)对任意的λ∈[0，1]，t∈[0，1]，x，y∈[-e*，+∞)，z∈[0，-e*]，存在φ(λ)>λ使得

那么：

1)存在u0，v0∈Ph，e使得：u0

2)边值问题(3)有唯一解u*∈Ph，e.

3)对任意x0，y0∈Ph，e，构造序列

当n→∞时，有：xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t).

证明 由引理1，问题3)具有如下等价的积分表达式：

(8)

定义算子A:Ph，e×Ph，e→E满足：

则研究方程(3)解的存在唯一性问题即为讨论算子A的不动点问题.下面分三步进行证明.

第一步：证明算子A:Ph，e×Ph，e→E满足条件(L2).∀u，v∈Ph，e，∀λ∈[0，1]，由(H3)得到：

φ(λ)A(u，v)+(φ(λ)-1)e.

因此，可得到:

第二步：证明算子A:Ph，e×Ph，e→E是混合单调算子.若u∈Ph，e，则u+e∈Ph，故存在η>0使得u(t)+e(t)≥ηh(t)，t∈[0，1]，由(H1)可得：

u(t)≥ηh(t)-e(t)≥-e(t)≥-e*.

∀ui，vi∈Ph，e，i=1，2且满足u1≤u2，v1≥v2，则u1(t)≤u2(t)，v1(t)≥v2(t)，且ui(t)，vi(t)∈(-e*，+∞)，∀t∈[0，1].由G(t，s)的非负性和条件(H2)，可得到：

即A是一个混合单调算子.

第三步：证明A(h，h)∈Ph，e.由Ph，e的定义，只需证明A(h，h)+e∈Ph.由条件(H2)和引理3知，对任意t∈[0，1]，有：

另一方面，

令：

因此，l1h(t)≤A(h，h)(t)+e(t)≤l2h(t)，t∈[0，1].由条件(H2)和(H4)得：

这也就说明l2≥l1>0.因此A(h，h)+e∈Ph成立，即A(h，h)∈Ph，e.

最后，由引理5的结论1)可知：存在u0，v0∈Ph，e使得：

并且方程(3)存在唯一解u*∈Ph，e，且可构造以下序列

当n→∞时，有：xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t).其中G(t，s)和e(t)分别在(5)和(6)中给出.

证毕.

3 应用

考虑下述方程：

(9)

本例可写为方程(3)的形式，其中函数为：

(10)

其中

(11)

故：f(t，0，M)≥0且f(t，0，M)不恒为0.

当n→∞时，有：xn，yn→u*，其中：