积极建构 感悟模型

张玉翠

模型思想是数学核心素养的重要组成部分。数学模型的建立要经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，数学建模，就是从生活情境中抽象出数学问题，用数学的符号去表征问题中的数量关系和变化规律，是一种抽象的简洁的“数学化”过程。

模型思想的建立是一个螺旋上升的过程，在小学数学教学中，核心素养的有效落地意味着教师要重视课堂上的数学建模，鼓励学生感悟模型并积极建构，以促进学生学习力的长期发展。下面就数学模型融入课堂教学谈几点个人见解。

一、借助生活原型构建概念型数学模型

在数学教学过程中，基于小学生的认知发展水平，一些概念没有办法从数学内部揭示其意义，这时凸显了借助生活原型幫助构建概念的重要性。生活原型，就好比是一个支点，可帮助学生更加容易认知研究对象，有助于学生更好地感知及理解概念。

如教学“比的意义”的内容时，笔者让学生观察比较除法算式和比之间的关系，从而揭示比的意义，紧接着让学生说一说比、分数、除法三者的关系。有学生提出质疑：“既然比表示两个数相除，已经学会了分数和除法，为什么还要学习比？”这个问题在日常的教学中并未得到充分的解释。最多的说法是：除法是一种运算，分数是一种数值，比是一种关系。这种解释似是而非。如果能够借助生活原型，这个问题将变得直观而清晰。

此时，笔者引入制作泡泡水要用甘油、水、洗洁精、洗手液混合而成的情境，并提出问题：这四样东西要怎么搭配才能配出泡泡水。在学生思考并交流后，笔者出示数据1∶4∶2∶2。这样学生就得到释疑：除法和分数不能一下子将四种物体的倍数关系表示出来。多个数量之间的关系组成连比，几个数量之间的关系一目了然。对学生来说，比的意义变得形象、直观。由此可见，生活原型是促进学生理解数学概念的支点，这种基于生活实际构建概念模型的方法，有助于帮助学生建立清晰和正确的认识。

二、依托符号表达构建方法型数学模型

数学语言有三种常见的表达形式：文字语言形态，符号语言形态，图形语言形态。随着学生年级的升高，符号表达的重要性日渐凸显。把符号意识渗透进小学生的数学思维里，依托符号意识，不失为构建模型关键能力的一种有效途径。

例如，教学“乘法分配律”的内容时，笔者先呈现购物情境：运动服上衣55元，裤子45元，王阿姨购进10套运动服，花了多少钱？学生写出了以下两种解法：55×10+45×10=1000（元）;（55+45）×10=1000（元）。笔者提问：“你们能结合生活经验来说说这两个算式表达的意义吗？”学生小组讨论后发现，不同的方法解决了同一个问题，于是乎得到了“55×10+45×10=（55+45）×10”这一结论。笔者再提问：“你还能说一组这样的等式吗？说说你发现了什么规律？”以此初步孕育乘法分配律的模型，并让学生再举一些这样的例子验证一下各自对规律的猜想。随后，学生提供了多种表达方式。有的学生用字母：（a+b）×c=a×c+b×c;有的学生用图形：（口+○）×▲=口×▲+○×▲;有的用文字。可以发现，学生的想法是无穷的，且充满智慧，文字、图形、字母虽然形式不同，但实质上都是乘法分配律的数学模型。最终，笔者引导学生用字母抽象表示出乘法分配律这个数学模型，并抓住这个数学模型，教学这里的a、b、c可以是哪些数，进一步把握乘法分配律的内涵。

建构运算定律模型，一般遵循这样的教学线索：依托生活情境，解决实际问题—得出等式—猜想—举例验证—用不完全归纳法总结规律—符号化形态表达。运算定律的教学，实际上就是一种方法型数学模型的构建。将数学建模教学与符号意识的培养相结合，体现了数学学科的抽象性和简洁性，在小学数学的教学中，显得尤为重要。

三、应用图形丰润思想型数学模型

小学生的思维水平多停留在具象阶段，在实际教学中，学生受知识经验和思维水平限制，很难理解一些较为复杂的数学问题。将抽象的数学问题和直观的图形表征有机结合起来，以图析题，有助于学生打开思维，顺利解题。

（一）找准“源发点”，从整体上建构模型

“植树问题”是用除法来解决问题的，是对“包含除法”模型的补充。从这点来说，植树问题应纳入学生已有的认知体系中。在教学时，笔者将教材情境稍作改变，化繁为简地变更为：20米长的小路，每隔5米栽一棵，可以栽几棵？在学生读懂题意的基础上，笔者先启发学生思考：每隔5米栽一棵，也就是平均每5米一棵，要先知道20里面有几个5，再根据实际情况做调整。也就是说，这道题可以用除法解决，实际上仍属于“包含除法”问题。再让学生通过画图和操作对商进行适当地调整：两端都栽，商要加1;只栽一端，商不变;两端不栽，商要减1。植树问题的三种模型由此建立。因此，基于原有认知水平建构植树模型的过程可以用如下示意图（图1）来表示：

（二）寻找“生长点”，从认知上丰富模型

在经历充分地画图和操作，学生观察感悟线段上植树问题的三种模型后，笔者引导学生进一步探寻植树问题的其他情况。笔者出示题目：实验小学准备在圆形操场周围栽树，操场的周长是200米，如果每隔10米栽一棵，一共要栽多少棵树？有了之前的学习经验（线段上种树的经验、化繁为简），笔者放手让学生自主探究。汇报过程中，学生提到先栽50米，试着把圆拉直成一条线段，结果发现了这道题就相当于植树问题中“一端栽一端不栽”的情况（图2）。

笔者及时给予肯定，引导学生再次感受种树的过程：把树种在点上，一棵数对应一个间隔，刚好种完。学生发现：棵数和间隔数一一对应，这不就是只栽一端！这样的处理，积累了学生的数学活动经验，同时丰富了植树问题数学模型的认识，感受模型思想与建模的魅力。

总之，数学模型作为一种有效载体，丰富了学生的学习体验，提升了学生的思考能力，把学生的学习推向思维的深处。教师在实际工作中需要进一步探索和发现，让学生充分经历探究、抽象、推理、建模的过程，为今后的深度学习奠定基础。

（作者单位：福建省厦门市同安区第二实验小学 责任编辑：王振辉）