基于区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度的TOPSIS决策方法

汪烨 夏豪杰 林志超 周礼刚 肖箭

摘要：文章提出一种基于区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度、熵测度及加权平均算子的TOPSIS多属性决策方法。首先提出区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度并研究其性质，其次提出区间q-rung Orthopair模糊熵测度和区间q-rung Orthopair模糊加权平均算子，然后针对方案属性权重完全未知的情况提出一种基于区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度和熵测度的TOPSIS多属性决策方法，最后将新方法应用于证券投资方案选择多属性决策，验证文章方法的可行性和有效性。

Abstract： This paper presents a TOPSIS method for multicriteria decision-making based on q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure， entropy measure and weighted averaging aggregation operators. Firstly， we propose q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure and study its properties. Secondly， we present q-rung interval-valued Orthopair fuzzy entropy measure and q-rung interval-valued Orthopair fuzzy weighted averaging aggregation operators. Then we put forward a TOPSIS method for multicriteria decision-making based on q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure and entropy measure in which the weights of attributes are completely unknown. Finally， we apply the new method to multicriteria decision-making for securities investment in order to verify the feasibility and effectiveness of proposed method.

关键词：多属性决策;区间q-rung Orthopair模糊;距离测度;熵;TOPSIS

Key words： multi-attribute group decision-making;q-rung interval-valued Orthopair fuzzy;distance measure;entropy;TOPSIS

中图分类号：C934                                          文献标识码：A                                  文章編号：1006-4311（2020）21-0231-08

0  引言

模糊理论是美国加州大学Zadeh教授于1965年创立的，该理论使得数学上的思维和方法可以运用到模糊现象中。众多学者对模糊集进行了深入研究[1]，并提出了很多新的概念及理论分支，如Atanassov提出了直觉模糊集[2]的概念;Yager提出了毕达哥拉斯模糊集[3-4]的概念，并在毕达哥拉斯模糊集的基础上提出了q-rung Orthopair模糊集[5]。q-rung Orthopair模糊集中隶属度与非隶属度的q次方之和满足小于1的条件。q-rung Orthopair模糊集更具有灵活性和实用性，更适合不确定的模糊环境，因此研究q-rung Orthopair模糊集具有十分重要的意义。区间q-rung Orthopair模糊集[6]是q-rung Orthopair模糊集的进一步推广，将隶属度与非隶属度引申为隶属度区间与非隶属度区间。由于一些模糊性质的现实问题，其隶属度确定性较低，在模糊集理论体系的发展过程中，模糊性和不确定性已经广泛的应用于决策问题中，区间模糊信息更加贴近现实的模糊群决策模型。相对来说，目前为止，关于区间q-rung Orthopair模糊环境下的多属性决策方法研究仍然不多，尤其是与距离测度和熵测度进行结合的相关研究较少。这篇文章研究基于区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度、熵测度及加权平均算子的区间q-rung Orthopair模糊TOPSIS多属性决策方法，并结合证券投资领域的多属性决策案例分析验证新方法的合理性和有效性。

4  案例分析

随着经济的发展，中国资产管理行业以及证券市场逐步市场化，证券投资基金慢慢进入大众视野，正确的选择证券投资基金能让投资者获得最大收益。现有一位投资者要在5种证券投资基金Ai（i=1，2，…5）中选择一种进行投资[11]。

投资者针对这5种投资基金咨询了三位基金分析人员（决策者）Ek（k=1，2，3），三位决策者对五种基金购买的5项属性指标：基金收益能力C1、风控水平C2、业绩持续性C3、基金经理择股能力C4和择时能力C5进行评价，将评价使用区间q-rung Orthopair模糊数表示。

利用文章提出的基于區间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度和熵测度的TOPSIS方法决策步骤如下（这里取q=2）：

由表5可以看出，对于区间q-rung Orthopair模糊的参数q取不同数值时，方案排序结果不尽相同，但最优方案都是A5，且其他方案的排序变化不大，这与文献[11]中的方案排序结果十分相近，这表明了文章使用方法进行决策的有效性与实用性。另外，由图1可以看出，方案A5的贴近度始终最高但当q>8后有下降趋势，方案A3的贴近度随q值增大而增大，并逐渐接近方案A5，方案A1的贴近度随q值增大先有较缓的上升趋势然后开始下降，方案A4的贴近度随值q增大而逐渐减小，方案A2的贴近度始终最小，变化不大。

在多属性决策问题中，属性权重是一个重要的关键因素，文章提出的区间q-rung Orthopair模糊熵测度是解决方案属性权重完全未知情况下的决策问题的有效且客观实用的方法。文献[12]提出了基于q-rung Orthopair模糊加权平均算子（q-ROFWA）和q-rung Orthopair模糊加权几何算子（q-ROFWG）的且属性权重已知的多属性决策问题的方法，相比较而言，文章利用区间q-rung Orthopair模糊熵测度计算属性权重，使得最终的决策结果更为客观。相比于文献[11]而言，文章基于区间q-rung Orthopair模糊多属性决策方法是对直觉模糊多属性决策方法的推广，决策者可根据不同情况或个人风险态度选定参数q，因此文章提出的新方法更具广泛性。

5  结束语

文章给出了一个基于区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度、熵测度、q-RIVOFWA算子和TOPSIS的多属性决策方法。首先提出了区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度，讨论其性质;其次提出区间q-rung Orthopair模糊熵测度，并针对各方案属性权重未知的情况，基于区间q-rung Orthopair模糊熵测度构建属性权重模型，然后提出基于区间q-rung Orthopair模糊Minkowski距离测度、熵测度、q-RIVOFWA算子的TOPSIS多属性决策方法。新的多属性决策方法适用于人力资源评价、金融风险分析、重大基建工程选址、运营商选择等众多多属性决策问题领域，具有广泛的应用性。

参考文献：

[1]Zadeh L A. Fuzzy sets [J].Information and Control， 1965， 8（3）： 338-353.

[2]Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）：87-96.

[3]Yager R R， Abbasov A M. Pythagorean membership grades， complex numbers and decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2013， 28（5）：436-452.

[4]Yager R R. Pythagorean membership grades in multicriteria decision making [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2014， 22（4）： 958-965.

[5]Yager R R. Generalized Orthopair fuzzy Sets [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2017， 25（5）：1222-1230.

[6]Wang J， Gao H， Wei G， et al. Methods for multiple-attribute group decision making with q-rung interval-valued Orthopair fuzzy information and their applications to the selection of green suppliers [J]. Symmetry， 2019， 11（1）： 56.

[7]Wu L， Wei G， Gao H， et al.Some interval-valued intuitionistic fuzzy Dombi Hamy mean operators and their application for evaluating the elderly tourism service quality in tourism destination [J]. Mathematics， 2018， 6（12）： 294.

[8]Wei G， Wang H J， Lin R. Application of correlation coefficient to interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision-making with incomplete weight information [J]. Knowledge and Information Systems， 2011， 26（2）： 337-349.

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[10]Wang J， Wei G， Wang R， et al. Some q‐rung interval‐valued Orthopair fuzzy maclaurin symmetric mean operators and their applications to multiple attribute group decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2019， 34（11）： 2769-2806.

[11]郭祺.证券投资基金业绩评价的区间直觉模糊多属性群决策方法[D].南昌：江西财经大学硕士论文，2016.

[12]Liu P， Wang P. Some q‐rung Orthopair fuzzy aggregation operators and their applications to multiple‐attribute decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2018， 33（2）： 259-280.