对一道融合抛物线的动点几何问题的探究

江 田

[摘  要] 研读全国各地中考试题，以函数为背景的动态几何问题常作为压轴题出现，能够突出考查学生对概念、思想方法和知识综合的掌握情況，文章对一道融合抛物线的动态几何问题进行思路探索，总结归纳该类问题的解法策略，提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 抛物线;动点;动态几何;静态;转化;变式

问题引入

近几年中考压轴题逐步向数形结合、动态几何、知识探究等方向发展，其中以抛物线为背景融合动态几何是命题的热点. 除了需要学生掌握常用的分析方法，具备相应的推理能力外，还需具有一定的空间观念，能够在“运动”与“静态”视角中自如切换，下面进行深入探究.

引例呈现

例题  直线l的解析式为y=-x+3，与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，抛物线y=-x2+2mx-3m的顶点为D，并经过点A，与x轴的另一交点为C，现连接BD，AD和CD，如图1所示.

（1）试求抛物线的解析式以及点A，C，D的坐标;

（2）设点P以每秒2个单位长度的速度，沿着BD，从点B向点D运动，同一时间点Q以每秒3个单位长度的速度，沿着CA，从点C向点A运动，而当其中一点达到终点停止运动时，另一点也立即停止运动. 设运动过程中的时间为t秒，PQ与线段AD的交点为E，回答下列问题.

①试求当∠DPE=∠CAD时t的值;

②过点E作BD的垂线，垂足为点M，再过点P作PN⊥BD，交线段AB或者AD于点N，试求当PN=EM时t的值.

思路探索

本题为以抛物线为背景的双动点几何问题，主要考查二次函数的应用与几何性质. 设问分为两个小问，下面对其解题思路进行探索.

1. 待定系数求式

第（1）问属于基础问题，并不涉及动点分析，只需要求出其中点A和点B的坐标，然后将点A坐标代入抛物线的解析式中即可求出m的值，进而推知点C和D的坐标.

点A和B是直线l与坐标轴的交点，直线l的解析式为y=-x+3，则可以求得点A（2，0），B（0，3）. 将点A的坐标代入y=-x2+2mx-3m中，从而可解得m=3，所以抛物线的解析式为y=-x2+6x-9，对其变形可得y=-（x-4）2+3，则点D（4，3），点C（6，0）.

评析  求抛物线的解析式和交点坐标相对简单，但需要强调的是要确保答案准确，因此求出结果后需要对其进行验证，这也是确保后面两小问正确解答的条件，可以采用交点法或两根法来加以验证.

2. 化“动”为“静”求解

第（2）问分为两个小问，其中引入了动点P和Q，随着两点的运动，直线PQ的斜率也会发生变化，设问均与几何图形有关，因此需要联系几何性质来探索. 但突破的关键依然是合理进行“动”与“静”的视角转化，找到几何元素与动态条件之间的关联.

第①问解析：该问求∠DPE=∠CAD时t的值，其中的动态条件是时间t，可以联合运动速度来构建关于线段长的函数，即BP=2t，CQ=3t，从而完成动态条件的静态转化. 后续求解时只需要建立等角与等线之间的关系即可.

由第（1）问可知BD=AC=4，根据题意可知0≤3t≤4，解得0≤t≤. 由于点B（0，3），D（4，3），则BD∥OC，由平行线的性质可得∠CAD=∠ADB，当∠DPE=∠CAD时有∠DPE=∠ADB. 由点A，B和D的坐标可得AB=AD=，所以∠DPE=∠ABD（等边对等角），则PQ∥AB，从而可知四边形ABPQ为平行四边形，必然有AQ=BP，即2t=4-3t，可解得t=，所以当∠DPE=∠CAD时t的值为.

评析  该问是分析等角与时间t之间的关联，上述分析动态元素时引入了与时间t相关的线段函数，这是利用了函数的动态特性，将问题转化为分析等角与线段长之间的关联，从而有利于几何特性的介入.

第②问解析：该问构建了两条垂直线段，需要注意的是：随着点P的运动，点N的位置会发生变化，其可能位于线段AB上，也可能位于线段AD上，因此需要对两种情形加以讨论. 联系点A，D和点P的运动速度可知，当0≤2t≤2时，点N位于AB上;当2<2t≤4时，点N位于AD上. 后续只需要结合条件PN=EM以及几何性质来构建关于时间t的方程即可.

（i）当N位于AB上时，0≤2t≤2，解得0≤t≤1. 连接NE，分别延长PN和ME，与x轴相交于点F和点H，如图3所示.

结合垂直关系和线段等长条件可知OF=BP=2t，PF=OB=3，进一步可知FQ=OC-OF-QC=6-5t，点N位于直线AB上，可将其坐标表示为（2t，-3t+3）. 当PN=EM时，NE∥FQ，则△PNE与△PFQ相似，由相似性质可得=，则FH=NE=·FQ=6t-5t2. 直线AD的解析式为y=x-3，则点E的坐标可以表示为（4-2t，-3t+3），由于OH=OF+FH，从而有4-2t=2t+6t-5t2，可解得t=1-或t=1+（舍去）.

（ii）当N位于AD上时，2<2t≤4，解得1

综上可知，当PN=EM时t的值有两个，分别是1-和.

评析  该问分析等线段长时时间t的值，需要建立关于时间t的线段长的方程，突破的关键同样是处理其中的“动态”条件. 上述解法结合了物理上求运动距离的公式进行转化，后续只需要结合几何性质分析问题. 另外，求解时还充分运用了分类讨论的思想方法，通过对问题情形进行分类降低了思维难度，避免了漏解，这也是动点几何问题常用的解析策略.

总结归纳

1. 考查的知识点

以抛物线为背景的動点几何问题所考查的内容众多，其中有以下几大重要知识点.

（1）融合特殊四边形，如正方形、平行四边形、菱形等，考查几何特性;

（2）以动点、动线为基础构建三角形，探究与三角形相关的知识，例如相似、全等、面积函数等;

（3）以探究的方式进行存在性分析，考查“假设——验证”方法的运用.

2. 问题突破策略

融合抛物线的动点几何问题可以根据相应的问题条件采用如下策略分析：

（1）动点以速度、时间参数的形式呈现——结合对应公式转化为含参线段;

（2）涉及菱形、等腰三角形等特殊图形——观察图形结构，提炼出图形所具备的特性;

（3）探究相似三角形——采用分类讨论的策略，画图探究，利用相似性质得出相似比构建方程;

（4）与动点相关的几何面积——分析图形结构，构建面积模型，利用面积公式转化为与运动参数相关的面积函数.

教学思考

动点问题一般具有较高的难度，学生在求解时需要解决诸多问题，包括如何处理动点条件、提取等量关系等，学生的分析能力与教师的教学指导有着密切的关联，因此教师需要在解题教学中深入分析解题难点，引导学生掌握解题方法.

1. 化动为静，常规转化

动点问题一般与运动要素相关，在分析问题时需要明确其中的运动对象、方向、速度、终点等，然后结合相应的运动公式呈现运动距离，从而将运动问题转化为常规的几何问题，实现“动点”静化. 例如本题中给出了点P和Q的运动要素，此时就可以利用公式s=vt得到BP=2t，CQ=3t等，然后以此为基础来分析其中的几何关系，逐步使问题思路变得清晰.

2. 数形结合，特定分析

动点问题一般以点动为表象来考查几何与函数等知识，其中隐含了数形结合、分类讨论、方程等思想. 问题突破时需要引导学生重视数形结合思想，结合图像来分析动态几何的不同状态. 无论是求证等角、等线问题，还是分析几何面积、极值问题，均需要合理处理运动变量，将其转化为常规的形式. 教学中可以引导学生合理利用数形结合方法对图像进行分类或者分割，从中提取相应的几何图形，利用图形特性构建方程. 例如上述在第（2）②问求解时根据点N的位置构建了两类图像，从中提取了平行四边形、等腰三角形和直角三角形等特殊图形，通过定性分析逐个击破.

3. 变式训练，拓展思维

运动问题属于重点问题，教学中需要加强变式训练. 变式训练可以使学生强化理解，磨炼技能，同时拓展思维. 对于本题的变形，我们可以从以下三个方面进行.

（1）试问当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形？

（2）分析在点P的运动过程中△PBN的面积，试问t为何值时△PBN的面积为？

（3）点P运动过程中，△PNE能否为等腰直角三角形？若可以，求出t的值;若不可以，请说明理由.

上述第（1）和（3）问是分析运动过程中的特殊图形，只需要把握特殊图形的特殊条件，联系运动要素进行分析即可. 而第（2）问要分析三角形的面积，只需要结合面积公式将其转化为关于时间t的函数，然后构建方程求解即可.