Scratch两方法计算圆周率

白二娃

之前《电脑报》刊登了一篇用VB计算圆周率π值的文章。使用了π/4=1-1/3+1/5+…+1/i，计算π的近似值，i值越大精度越高。这种算法由于不够直观，其实不太容易理解。我另外选了两种计算π的算法：蒙特卡罗方法和直接测量法，并用Scratch编程来計算圆周率，这样小朋友都能很容易理解圆周率的定义和计算了。

一、 蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法（Monte Carlo，简称MC）是冯·诺依曼等人提出的统计模拟方法，蒙特卡罗这个名字来源于赌场，表示这种算法的不确定性原理与赌博类似。

假设有一个边长为1的正方形区域，有一个圆和这个正方形内切。我们知道正方形面积是边长a的平方，圆形面积是π乘以半径R的平方。由于是内切圆所以正方形边长等于2R，圆形和正方形面积的比值k等于π/4。

如果能够知道k的值，就能得到π=4k，这就是估算圆周率的核心思想。

现在我们向矩形范围内随机画点，任何位置被选中的概率都是相等的，图中共投了1000个点，经过统计落在圆内的点为787个，由于投点是随机的，所以可以近似认为圆形和矩形的面积比k等于点数比，即k=787/1000=0.787，所以圆周率π=4k=4x0.787=3.148，至此圆周率π的估算已经完成。

新建角色“圆心”和“笔”，“圆心”就在（0，0）画一个点，“笔”隐藏显示。

在程序中我们设置了3个变量，“pi”存储π值、“总投放点数”设置总数、“落在范围内的点”记录在圆内的点。

调用画笔扩展，重复执行“总投放点数”次。在XY坐标-90到90之间的方形区域随机画点。

判断如果随机画的这个点到角色“圆心”的距离大于90不成立。即表示这个点在圆的范围内（含圆的边）。将“落在范围内的点”加1。

循环完毕，用“落在范围内的点”除以“总投放点数”就获得面积比k，乘以4就得到π值了。运行时请打开加速模式，不然会运算到天荒地老。

蒙特卡罗方法是一种依赖于重复性随机采样，进而获得数值解的建模方法。对于复杂曲线积分这种很难通过理论求解的情况，可以通过蒙特卡罗方法获得一个近似解。我们用Scratch编程后多次运行就可发现，算出的π值偏差比较大，而提高“总投放点数”并不能很好地提升计算精度，这应该是由于计算机产生的随机数是伪随机数造成的。

二、 直接测量法

我们知道π的定义是圆的周长与直径的比值。

我们用Scratch画出半个边数超多（100000条边）的多边形。这个多边形由于每条边都很短，可以认为近似是一个圆，这个半圆的终点到起点间的距离就是圆的直径。边长乘以边数就是这个圆的周长。两者相除就可以算出π的值了。

新建角色“起点”，在造型中背景放到最大后在中心点一个小点。移动到（0，-160）作为起点位置。

对小猫编程。

设置“pi”记录计算结果，通过控制“边长”（0.01）、“边数”（100000）的大小控制近似圆形的大小，提高计算π值的精度，边数越多π的精度应该越高。

移动到（0，-160）的起点位置，面向90度方向，重复执行边数除以2次，因为我们只需要画一个半圆用来测量直径。画正多边形的方法《电脑报》以前已经介绍过就是移动“边长”步，左转360除以“边数”度。这样画出的半圆形终点到角色“起点”之间的距离就是圆的直径。

边长乘以边数就是圆的近似周长。

将“pi”设为“边长”*“边数”/到“起点”的距离。

要想看到最精确的计算结果，有一个小技巧，要点击单独放在代码区的变量“pi”才行。计算结果为3.141592653072866与我们已知的π值相当接近，说明这个方法计算结果相当精确。

这个方法的思维方法最为直接，就是测量出圆的周长和直径直接相除就可以得到π值。但是对于古人来说周长和直径都很难精确测量，所以才有那么多数学家想方设法去提高π的计算精度，但是对于程序来说这个直接的方法却意外的容易和精确。

我们程序中设定的边长和边数数值只是个经验数值，只是因为画出来的半圆大小比较合适。其实只要多边形边数超过100条边时π值的精度就已经达到3.141了，比蒙特卡罗方法效果好得多，随着边数的提高计算精度稳步提升，而且边长对于π计算结果影响不大，只是影响视觉效果而已。