日本初中教科书中“勾股定理”特色及启示

张冬莉 代钦

[摘要]日本现行中小学学制为“六三三”制，小学六年、初中和高中分别为三年。启林馆出版的初中教科书《数学3》中勾股定理的编排具有显著特色，其中定理的证明方法采用了直接观察与实验操作相结合的形式。数学史料內容过于单一;教科书的整体设置上注重数学知识点之间的联系;章末的基础习题皆有知识点分析等。这些特点均可对中国中学数学教科书的编写具有借鉴作用。

[关键词]日本;初中数学教科书;勾股定理

1 日本初中《数学3》内容结构

勾股定理是联系数学中最基本、也最原始的两个对象——数与形的第一定理。一直以来，勾股定理始终是各国中学数学教科书中的重点内容之一，是解三角形和学习平面几何的基础，也是学习解析几何和微积分等学科的桥梁。勾股定理的学习对培养学生的数学思维能力和动手操作能力有着重要的意义。在世界各国的中学数学教科书中，勾股定理内容设置的理念及编排方式各具特色。如，日本初中数学教科书中的勾股定理内容的引入、定理证明、例习题的设置等方面均有自己显著的特点。与中国教科书中勾股定理内容的设置迥然不同。这对中国数学教科书编写和数学教学改革具有重要的借鉴作用。

日本对教育改革十分谨慎。日本将教育整体的改变称为教育改革，课堂教学的改变称为教学改善。不使用“改革”二字，而所使用的“改善”意味着在没有太大的变化的情况下进行微小的调整，追求稳中求进。正如日本著名教育家佐藤学所说的“静悄悄的革命”那样，通常十年左右进行一次改革，同时修订“学习指导要领”（以下简称“要领”），这相当于中国的课程标准，以此作为编写中小学数学教科书的依据。但与中国不同的是，他们中小学的新教科书并不是同一年发行使用，为了保证各个学段的知识点衔接，而是将小学、初中和高中逐年开始使用，而且教科书样本出版后，经两三年的征求意见后重新印刷出版发行、方可使用。

日本现行中小学学制为“六三三”制。启林馆出版的从2016年开始使用的数学教科书共有三册：《数学1》、《数学2》和《数学3》。本文主要选取《数学3》中的“勾股定理”内容进行详细分析。

日本中学校学习指导要领中，对于“勾股定理”这一章节的学习目标要求：通过观察、操作、实验等活动，发现理解毕达哥拉斯定理，并用毕达哥拉斯定理考察相关问题。（1）理解毕达哥拉斯定理并会证明它。（2）在具体情形中灵活运用毕达哥拉斯定理。勾股定理内容设置在《数学3》的第7章“三平方①定理”。该章分为两节：第一节“勾股定理”：包括“勾股定理”和“勾股定理的逆定理”两小节：第二节“勾股定理的应用”：包括“平面图形中的利用”和“空间图形中的利用”两小节。这里值得一提的是在日本，立体几何内容一直贯穿在小学、初中和高中教科书中，保证了内容的衔接性且环环相扣。下面从勾股定理的发现、证明、逆定理、应用以及例习题等五部分进行论述。

2 勾股定理内容设置编排概述

2.1 勾股定理的发现

《数学3》首先以毕达哥拉斯观察其朋友家地板砖的小故事开篇，并设置了毕达哥拉斯的肖像和简介引出了对定理的发现，然后通过数方格求面积的方法引导学生发现定理：如图1所示，在边长为l的正方形纸上，画有两直角边为2的等腰直角三角形、两直角边分别为2和3的直角三角形和两直角边分别为1和4的直角三角形，并分别以三条直角边为边分别向外做正方形。最后将三个正方形的面积之间的关系填写在右上角的表格中。这里值得提出的是，日本小学和初中数学教科书中有大量的方格图，这也是日本数学教科书的特点之一。

该问题目的是引导学生发现直角三角形三边之间的数量关系。其中重点和难点是计算以斜边为边长的正方形面积，其方法不唯一。我们发现，在探究的旁边都留出表格，让学生自己填写总结特点，会更多地留出一些空白让学生思考，更多注重提示与启发。

2.2 勾股定理证明及其逆定理

《数学3》在启发学生自主探究和归纳后，进一步提出对定理的猜想，并证明猜想，最后再给出详细的勾股定理證明过程。

日本初中“数学广场”表面上类似我国教科书中“课题学习”、“数学活动”，但是“数学广场”内容作为正式课堂教学内容展开，探究勾股定理的其他证明方法。其中方法l是欧几里得的证明方法（如图3）：方法2是由四个直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形（如图4）;方法3是利用三角形的射影定理（如图5）。这些证明方法用以辅助证明、加深理解。对发展学生思维的广阔性和灵活性等方面具有重要促进作用。同时也让学生了解，勾股定理的证法不止局限于一种。

在这一小节的最后，通过课后“数学展望台”相关知识的扩展链接中。介绍了三个古埃及人利用绳子获取直角三角形的故事，即在毕达哥拉斯定理发现之前。古埃及人就是用该方法构建直角三角形。这样的方法如今在建筑中仍在使用。于是很自然地引入勾股定理的逆定理。

2.3 勾股定理的应用

第二小节“在空间图形中的应用”，如利用勾股定理求长方体的对角线（图6）、正四棱锥的高以及体积问题（图7）。这一点与我国教科书的编排设置截然不同。《数学3》的內容设置中，二次方程、函数、相似形以及圆的性质等问题编排在勾股定理之前。所以在勾股定理的应用章节中，可以看到利用定理处理一些平面问题和空间问题。使得解题方法变得更加简便。

最后的一个情景问题是：从富士山山顶可以看见的范围。即当爬上高山和大楼等高的地方。可以使看到的范围更加广阔。问：从富士山的山顶看到的范围如何计算呢？然后总结自己的想法。那么请试着用同样的方式调查了解一下你居住的地区。较高的建筑物和高山处能见到的范围。这时需要把生活中的实际问题转化成数学问题。该题目的灵活性和探究性很强，在提高定理应用的同时，更能让学生体验数学在生活中如何应用。只有亲身经历的现实才是将数学凝聚成整体的真正支柱。

3 例题、习题类型与开放性的设置

教科书例题与习题最主要的功能是对概念或者命题的巩固。由于教科书将勾股定理内容编排在第3学年学习，定理的应用上涉及的知识点比较多，例如可以和函数，四边形，圆等知识融会贯通，在从平面扩展到空间，使勾股定理得到了广泛的应用。

3.1 例题的数量与类型

例题主要有计算题和解答题两种题型。从知识点的含量上来看，教科书中的例题都随着知识含量的增加呈下降趋势，说明首先教科书中还是考察基础知识为主，其次注重题型的分类。例如，在“勾股定理”这一小节中，共设置了2道例题，分别是：

例1：已知直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm。求斜边的长度。

例2：已知直角三角形斜边长为6cm和一条直角边长4cm。求另一边。

在“勾股定理的逆”中，设置1道例题：已知三角形三边长，分别为8cm，15cm，17cm，判断是否是直角三角形。

在“勾股定理的利用”一节中，例题共有6道。其中平面图形上的应用共有4道，例如：利用定理求正三角形的高、求圆中的弦长、求坐标平面上两点之间的距离以及求含30°角的直角三角形的边长。空间图形上的应用共有2道，即求长方体的对角线、求正四棱锥的高和体积。

3.2 习题的数量与类型

在习题问题的设计上，注重基础，语言都比较简洁，问题的背景比较简单，突出数学的味道。总体看题目的形式非常多样，有练习题、加油吧、巩固练习、章末问题、扩展到自己身边等。接下来对这些形式作简要介绍。

（1）练习题 设置在例题下面的练习题，为“问1、问2”，此处相当于我国数学教科书中例题后的练习，题目相对容易，目的是帮助学生理解所学的新知。

（2）加油吧 在教科书后的“加油吧”栏目中，又编排了一道或两道的扩展练习。但并不是要求所有学生都必须学习。该部分是为了加深对勾股定理的理解。提高解决问题的能力。

（3）巩固练习 本章的巩固练习，整理归纳本章主要内容，考察对定理的掌握和理解。共设置6道题目。这一部分的习题与中国教科书的区别是采用分栏设计，左栏是题目，右边一栏中会说明该题目考察的知识点是什么。

（4）章末问题 该部分的题目综合性较强，重点考察本章内容的应用，与前面的题目相较而言题型种类较为丰富，共有9道题，以解答、计算题为主。不再针对某一个知识点进行训练，而是综合性的体现。可以看出，整个习题部分的设置是层层递进，从基础知识到扩展知识的练习。不断地加强对知识的理解和应用。

同时在“扩展到自己身边”栏目中设置关于富士山的情境问题，感受数学源于生活，做到理论与实践相结合。目前，做基础推理问题是学生的强项。死记题型，缺乏创意，弱于探索则是编写教科书时更需要关注的地方。显然，日本教科书的编写已经意识到这一点，为了培养学生的发散思维能力，提倡开放题及其他能启发学生创造力的数学题，应是一个十分重要的方面。但是，这样类型的情境问题在教科书中并不多见，其目的就是通过情境导人，让学生扩展思维，可以思考在生活中还有哪些地方可以用到该定理。

除了题型设置多样外，《数学3》与中国初中数学教科书不同的是在平面图形和空间图形中的应用。首先，在平面图形中不仅单独考察直角三角形和一般三角形，而是将直角三角形与四边形、圆和函数结合起来，使学生灵活运用，形成对知识点全面的认识和理解。其次，《数学3》中还安排了“求平面直角坐标系中两点间的距离”的内容，而在中国通常是编排在高中数学教科书中。另外，《数学3》这一章所有题目的设置中没有出现中国教科书中常见的应用题（如九章算术中题目，木杆折断等）。

想要加深对新知识的掌握。必须通过经常性的练习。但是单一重复的问题显然是无助于实现学生认知发展的。只有通过变式，改进重复问题，不断地进行逐步丰富的变式练习，才能达到对知识的理解。《数学3》的例习题设置以解答题和计算题为主，缺少证明题。习题的分类环环相扣，这些题目主要侧重对基础知识的掌握，题型的设置除了体现数形结合的思想，还体现了化归的思想方法，更多关注“数学方法”的应用。

4启示与借鉴

4.1 直观观察与实验操作相结合

从整体上看，《数学3》对定理的发现和证明的篇幅较少。勾股定理内容设置。在直接观察与实验操作相结合的基础上归纳出勾股定理。在“数学广场”中，利用几何法和代数法证明定理，使学生领悟证明的灵活多样性。证明的编排和设计不仅有方法且亦有思想。该套教科书的编写另一个特点是淡化了定理的发现和证明。更注重定理的应用。

值得一提的是，教科書“数学广场”中欧几里得的证法是一个亮点，此方法并不常见，虽然仅说明该证法是出自《几何原本》，但是瑕不掩瑜，为了能够做到让学生直观明了，通俗易懂，在叙述欧几里得的证明方法的时候既没有过度的强调严谨性，也没有大篇幅的语言叙述，而是将图形割补编码，找到对应相等面积的方法，这样的过程颇有启发性并直观地理解证明过程。欧几里得的证明方法的学习，对培养学生严谨的丰富想象能力和逻辑思维能力具有重要的促进作用。但是对数学学习基础一般的学生而言，学习和掌握欧几里得的证明方法是难以达到的。故《数学3》中的做法值得我们学习。

4.2 注重数学知识点之间的联系

通常中国初中数学教科书中“勾股定理”这一章只介绍定理在平面图形中的应用，而且也没有涉及平面图形中两点间的距离公式，更不会涉及定理在空间立体图形中的应用。而日本《数学3》对平面图形和空间图形的内容进行了融合。它不求深度和难度，但求学生对它们有一个全面的认识。形成一个完整的知识链。我们发现日本小学、初中和高中都设置立体几何内容相互衔接得很自然。

《数学3》的例习题的设置，更注重数学知识之间的联系。从习题涉及背景来看，教科书大部分习题都是无背景，都是以问题解决为目的，所以在题目设计方面设置了大量与知识点相关的变式题。适当增加习题的要求水平并深入理解数学知识，注重概念练习的必要性，在增加练习题总量基础上还要增加变式练习。虽然日本教科书体现了这层含义。但是题目的难度不大。所以要在每个层次中合理安排习题数量和要求水平，以满足不同学生的学习水平，而且这样做可以给教师和学生提供更大的选择空间。

4.3 章末的基础习题皆有知识点分析

日本教科书中每一章的章末基础习题部分，都有对设置题目的意图进行解释说明。例如。考察对勾股定理的理解、勾股定理的逆定理的使用以及对直角三角形的判断等。这样的设计理念在中学数学教科书中并不多见，在中国的有些课外教材辅导书中有类似的设计。通过对题目设置的分析，能够厘清学生解题的思路，准确把握命题人的意图，问题就可以迎刃而解。同时还可以适当地将题型进行归纳总结。