一个含有伪Smarandache函数的方程*

高倩,高丽,梁晓艳

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

本文利用初等方法及伪Smarandache函数z(n)、Smarandache LCM函数sl(n)和Euler函数φ(n)的性质,给出了方程z(n)=φ2(sl(n))的所有正整数解.

1 相关引理

引理1[8]设正整数n的标准分解式为n=p1k1p2k2…psks,则有sl(n)=max{piki}(1≤i≤s),特别地,当p为素数及k≥1时,sl(pk)=pk.

引理2[9]Euler函数为积性函数,即对于任意互素的正整数m,n,有φ(mn)=φ(m)φ(n).

引理4[9]对于素数p与k≥1,有φ(pk)=pk-pk-1.

引理5[9]对任意素数p≥3,z(p)=p-1.

引理6[9]对任意素数p≥3及k∈N,z(pk)=pk-1.当p=2时,则有z(2k)=2k+1-1.

引理7[9]z(n)是不可加的,即z(m+n)不恒等于z(m)+z(n)；z(n)也不是可乘的,即z(mn)不恒等于z(m)z(n).

2 主要结论及证明

定理方程z(n)=φ2(sl(n))仅有正整数解n=1.

证明利用初等方法给出定理的证明.

对正整数n进行分类讨论.

(I)当n为奇数时,分以下几种情况进行讨论：

(i)n=1,z(1)=1=φ2(sl(1)).

∴n=1是方程的解.

(ii)n=p,其中p为素数,且p≥3,由引理5知z(p)=p-1,由引理1和引理4得

φ2(sl(p))=(p-1)2

若z(n)=φ2(sl(n)),则p-1=(p-1)2,显然不成立.

∴n=p不是方程的解.

(iii)n=pk,其中p≥3为素数,且k>1,由引理6知z(pk)=pk-1.由引理1、引理3和引理4得

φ(sl(pk))=φ(pk)=pk-1(p-1)

则φ2(sl(pk))=[pk-1(p-1)]2=p2k-2(p-1)2.

若z(n)=φ2(sl(n))，则p|p2k-2(p-1)2, 即p|φ2(sl(pk)),但p|pk-1不成立.

∴n=pk不是方程的解.

(iv)n=p1k1p2k2…psks,其中p1,p2,…,ps均为大于2的奇素数,且p1k1

φ2(sl(n))=(psks-psks-1)2

∴n=p1k1p2k2…psks不是方程的解.

(II)当n为偶数时

(i)n=2k其中k>0,显然由引理6知z(2k)=2k+1-1为奇数,而由引理1和引理4得

φ2(sl(n))=φ2(2k)=22k-2

为偶数,奇数≠偶数.

∴n=2k不是方程的解.

(ii)n=2kpl其中k>0,p为奇素数,l≥1.

(a)当sl(2kpl)=2k时,由引理1和引理4得φ(sl(2kpl))=φ(2k)=2k-1,易得

φ2(sl(2kpl))=(2k-1)2=22k-2

亦即23-kpl|22k-2+1,显然不成立.

∴n=2kpl不是方程的解.

(b)当sl(2kpl)=pl时,由引理1和引理4得

φ2(sl(2kpl))=φ2(pl)=[pl-1(p-1)]2=p2l-2(p-1)2

∴结合(a)(b)此种情况不是方程的解.

(iii)当n=2kp1k1p2k2…psks其中p1,p2,…，ps均为大于2的奇素数,且p1k1

(a)当sl(2kp1k1p2k2…psks)=2k时,由引理1和引理4得

φ(sl(2kp1k1p2k2…psks))=φ(2k)=2k-1

则φ2(sl(2kp1k1p2k2…psks))=(2k-1)2=22k-2.

若z(n)=φ2(sl(n)),则由z(n)的定义可得

即2kp1k1p2k2…psks|22k-3(22k-2+1),亦即23p1k1p2k2…psks|22k-2+1 ,显然不成立.

∴此种情况不是方程的解.

(b)当sl(n)=Max{piki},(1≤i≤s),时记sl(n)为psks.此时由引理1和引理4得

φ(sl(n))=φ(psks)=psks-1(ps-1)

即φ2(sl(n))=[psks-1(ps-1)]2=(psks-psks-1)2.

∵(2k,p1k1p2k2…psks)=1

且

显然不成立.

∴此种情况不是方程的解.

∴ 结合(a)(b)得n=2kp1k1p2k2…psks不是方程的解.

综上所述,方程z(n)=φ2(sl(n))只有n=1这一个正整数解，定理证毕.